Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
(e) A=[ccc1 & 4 & 5 0 & 3 / 4 & 6 0 & 0 & 1 / 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Autovalores e autovetores são conceitos que ajudam a entender como uma matriz age em um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar saber identificar os autovalores (que são os valores escalares) e depois encontrar os respectivos autovetores (os vetores não nulos que satisfazem a equação , onde é o autovalor e é o autovetor).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz A = 1 & 4 & 5 0 & 34 & 6 0 & 0 & 12 . Como a matriz lambda1 = 1, lambda2 = 34, lambda3 = 12 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), sabemos que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, olhando para a matriz:
Os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade e é o autovetor.
Vamos fazer isso para cada autovalor.

Passo 4

Para A - lambda1 I = 1-1 & 4 & 5 0 & 34-1 & 6 0 & 0 & 12-1 = 0 & 4 & 5 0 & -14 & 6 0 & 0 & -12 :
Subtraímos 0v1 + 4v2 + 5v3 = 0 0v1 - 14v2 + 6v3 = 0 0v1 + 0v2 - 12v3 = 0 da diagonal de v1 = t 0 0 , t neq 0 :
v1 = 1 0 0
Agora, resolvemos :
Da terceira equação, temos .
Substituindo na segunda equação: .
A primeira equação se torna , o que significa que pode ser qualquer número real.
Então, o autovetor correspondente a é:
Podemos escolher para simplificar:

Passo 5

Para A - lambda2 I = 1-34 & 4 & 5 0 & 34-34 & 6 0 & 0 & 12-34 = 14 & 4 & 5 0 & 0 & 6 0 & 0 & -14 :
Subtraímos 14v1 + 4v2 + 5v3 = 0 0v1 + 0v2 + 6v3 = 0 0v1 + 0v2 - 14v3 = 0 da diagonal de v1 = -16 times 1 = -16 :
v2 = -16 1 0
Resolvendo :
Da terceira equação, .
Da segunda equação: ⇒ confirma .
Na primeira equação: .
Vamos escolher :
Portanto, o autovetor correspondente a é:

Passo 6

Para A - lambda3 I = 1-12 & 4 & 5 0 & 34-12 & 6 0 & 0 & 12-12 = 12 & 4 & 5 0 & 14 & 6 0 & 0 & 0 :
Subtraímos 12v1 + 4v2 + 5v3 = 0 0v1 + 14v2 + 6v3 = 0 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0 da diagonal de v1 = 182 times 1 = 182, v2 = -24 times 1 = -24 :
v3 = 182 -24 1
Resolvendo :
A terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional.
Da segunda equação: .
Da primeira equação: .
Vamos escolher :
Portanto, o autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz lambda1 = 1 v1 = 1 0 0 [10px] lambda2 = 34 v2 = -16 1 0 [10px] lambda3 = 12 v3 = 182 -24 1 são:

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