Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Autovalores e autovetores são conceitos que ajudam a entender como uma matriz age em um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar saber identificar os autovalores (que são os valores escalares) e depois encontrar os respectivos autovetores (os vetores não nulos que satisfazem a equação , onde é o autovalor e é o autovetor).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz . Como a matriz é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), sabemos que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, olhando para a matriz:
Os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade e é o autovetor.
Vamos fazer isso para cada autovalor.
Passo 4
Para :
Subtraímos da diagonal de :
Agora, resolvemos :
Da terceira equação, temos ⇒ .
Substituindo na segunda equação: ⇒ .
A primeira equação se torna , o que significa que pode ser qualquer número real.
Então, o autovetor correspondente a é:
Podemos escolher para simplificar:
Passo 5
Para :
Subtraímos da diagonal de :
Resolvendo :
Da terceira equação, ⇒ .
Da segunda equação: ⇒ confirma .
Na primeira equação: ⇒ .
Vamos escolher :
Portanto, o autovetor correspondente a é:
Passo 6
Para :
Subtraímos da diagonal de :
Resolvendo :
A terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional.
Da segunda equação: ⇒ .
Da primeira equação: ⇒ ⇒ ⇒ .
Vamos escolher :
Portanto, o autovetor correspondente a é:
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são: