Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Autovalores e autovetores são conceitos que ajudam a entender como uma matriz age em um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar saber identificar os autovalores (que são os valores escalares) e depois encontrar os respectivos autovetores (os vetores não nulos que satisfazem a equação , onde é o autovalor e é o autovetor).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz . Como a matriz é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), sabemos que os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, olhando para a matriz:
Os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , precisamos resolver a equação , onde é a matriz identidade e é o autovetor.
Vamos fazer isso para cada autovalor.

Passo 4

Para :
Subtraímos da diagonal de :
Agora, resolvemos :
Da terceira equação, temos .
Substituindo na segunda equação: .
A primeira equação se torna , o que significa que pode ser qualquer número real.
Então, o autovetor correspondente a é:
Podemos escolher para simplificar:

Passo 5

Para :
Subtraímos da diagonal de :
Resolvendo :
Da terceira equação, .
Da segunda equação: ⇒ confirma .
Na primeira equação: .
Vamos escolher :
Portanto, o autovetor correspondente a é:

Passo 6

Para :
Subtraímos da diagonal de :
Resolvendo :
A terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional.
Da segunda equação: .
Da primeira equação: .
Vamos escolher :
Portanto, o autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são:

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Seja o espaço vetorial e uma matriz fixa em . Seja a aplicação definida por , com . Mostre que é linear.
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(b)
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
©
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(d)