Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Estamos trabalhando com álgebra linear, e para resolver isso, vamos precisar entender como determinar esses valores e vetores especiais que satisfazem a equação , onde é o autovalor e é o autovetor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . Em matrizes diagonais, como essa, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Olhando para a matriz :
Os elementos da diagonal principal são 1, 0, 0 e 1. Portanto, os autovalores são , , e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um autovetor Av = 1 cdot v associado a um autovalor v1 v2 v3 v4 satisfaz a equação 1 cdot v1 = 1 cdot v1 0 cdot v2 = 1 cdot v2 0 cdot v3 = 1 cdot v3 1 cdot v4 = 1 cdot v4 .
Como a matriz v1 0 0 v4 é diagonal, isso simplifica bastante a busca pelos autovetores. Vamos considerar cada autovalor separadamente:
Como a matriz é diagonal, isso significa que cada componente do vetor 0 v2 v3 0 deve satisfazer:
As equações para e nos dizem que e . Portanto, qualquer vetor da forma é um autovetor para .
Para :
A equação fica:
Isso implica:
As equações para e nos dizem que e . Portanto, qualquer vetor da forma é um autovetor para .
Passo 4
Resumindo o que encontramos:
Autovalores:
v1 0 0 v4 (com multiplicidade 2)
0 v2 v3 0 (com multiplicidade 2)
Autovetores:
Para : Vectores da forma , onde e podem ser quaisquer números reais.
Para : Vectores da forma , onde e podem ser quaisquer números reais.
Resposta
Os autovalores da matriz v = v1 0 0 v4 , v1, v4 in R são v = 0 v2 v3 0 , v2, v3 in R e , cada um com multiplicidade 2. Os autovetores correspondentes são: