Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Estamos trabalhando com álgebra linear, e para resolver isso, vamos precisar entender como determinar esses valores e vetores especiais que satisfazem a equação , onde é o autovalor e é o autovetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz . Em matrizes diagonais, como essa, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Olhando para a matriz :
Os elementos da diagonal principal são 1, 0, 0 e 1. Portanto, os autovalores são , , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Um autovetor associado a um autovalor satisfaz a equação .
Como a matriz é diagonal, isso simplifica bastante a busca pelos autovetores. Vamos considerar cada autovalor separadamente:
Para :
A equação fica:
Como a matriz é diagonal, isso significa que cada componente do vetor deve satisfazer:
As equações para e nos dizem que e . Portanto, qualquer vetor da forma é um autovetor para .
Para :
A equação fica:
Isso implica:
As equações para e nos dizem que e . Portanto, qualquer vetor da forma é um autovetor para .

Passo 4

Resumindo o que encontramos:
  • Autovalores:
    • (com multiplicidade 2)
    • (com multiplicidade 2)
  • Autovetores:
    • Para : Vectores da forma , onde e podem ser quaisquer números reais.
    • Para : Vectores da forma , onde e podem ser quaisquer números reais.

Resposta

Os autovalores da matriz são e , cada um com multiplicidade 2. Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
©
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(e)
Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(b)
Para cada transformação linear abaixo, verifique se é invertível e calcule a inversa, , se ela existe. definida por