Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz
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Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente no conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e encontrar seus valores próprios e, em seguida, os vetores próprios correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculamos
:
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Expandindo o determinante:
Então:
Passo 6
A equação característica é:
Fatorando:
Portanto, os autovalores são:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Resolvendo
:
Então,
. Podemos escolher
, então:
Para
:
Resolvendo
:
Então,
. Podemos escolher
, então:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
, com os respectivos autovetores: