Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
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Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente no conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e encontrar seus valores próprios e, em seguida, os vetores próprios correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculamos :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Expandindo o determinante:
Então:

Passo 6

A equação característica é:
Fatorando:
Portanto, os autovalores são:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
Então, . Podemos escolher , então:
Para :
Resolvendo :
Então, . Podemos escolher , então:

Resposta

Os autovalores da matriz são e , com os respectivos autovetores:

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Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(e)
Seja o espaço vetorial e uma matriz fixa em . Seja a aplicação definida por , com . Mostre que é linear.
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(d)
Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(b)