Vamos resolver o problema de encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente no conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e encontrar seus valores próprios e, em seguida, os vetores próprios correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação:
onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculamos :
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Expandindo o determinante:
Então:
Passo 6
A equação característica é:
Fatorando:
Portanto, os autovalores são:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
Então, . Podemos escolher , então:
Para :
Resolvendo :
Então, . Podemos escolher , então:
Resposta
Os autovalores da matriz são e , com os respectivos autovetores: