Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
© A=[ll12 & 12 12 & 12]

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os autovalores e autovetores da matriz 12 & 12 12 & 12 . Isso faz parte do estudo de álgebra linear, especificamente no conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e encontrar seus valores próprios e, em seguida, os vetores próprios correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores det(A - lambda I) = 0 são encontrados resolvendo a equação:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculamos A - lambda I = 12 - lambda & 12 12 & 12 - lambda :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = ( 12 - lambda )( 12 - lambda ) - ( 12 times 12 )
= ( 12 - lambda )^2 - 14

Passo 5

Expandindo o determinante:
( 12 - lambda )^2 = 14 - lambda + lambda^2
Então:
det(A - lambda I) = ( 14 - lambda + lambda^2 ) - 14 = lambda^2 - lambda

Passo 6

A equação característica é:
lambda^2 - lambda = 0
Fatorando:
lambda(lambda - 1) = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 0 e lambda2 = 1

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - 0 cdot I = A = 12 & 12 12 & 12 , resolvemos 12v1 + 12v2 = 0 , onde v1 + v2 = 0 é o autovetor.
Para v1 = -1 1 :
A - I = 12 - 1 & 12 12 & 12 - 1 = -12 & 12 12 & -12
Resolvendo -12v1 + 12v2 = 0 :
-v1 + v2 = 0
v2 = 1 1
Então, . Podemos escolher , então:
Para :
Resolvendo :
Então, . Podemos escolher , então:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = -1 1 e v2 = 1 1 são e , com os respectivos autovetores:

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