Para cada transformação linear abaixo, verifique se é invertível e calcule a inversa, , se ela existe. definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação é invertível, ou seja, se existe uma transformação inversa . Para isso, vamos mexer com matrizes e calcular o determinante, que vai nos dizer se a matriz é inversível ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar essa transformação linear numa matriz. Cada transformação linear de para pode ser representada por uma matriz 3x3. Olhando para a definição de :
Então, a matriz que representa essa transformação é:
Passo 3
Agora, para saber se det(A) = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 -2 & -4 & 1 é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 times (1 times 1 - 0 times (-4)) - 0 times (-2 times 1 - 0 times (-2)) + 0 times (-2 times (-4) - 1 times (-2)) :
det(A) = 1 times (1 - 0) - 0 times (-2 - 0) + 0 times (8 + 2)
Expandindo pelo método de Sarrus ou regra de Sarrus para matrizes 3x3:
det(A) = 1 times 1 - 0 + 0 = 1
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que já sabemos que A^-1 = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 6 & 4 & 1 é invertível, vamos encontrar a matriz inversa A times A^-1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 -2 & -4 & 1 times 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 6 & 4 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Uma maneira de fazer isso é usar o método das matrizes aumentadas ou calcular a adjunta e dividir pelo determinante. Mas, como o determinante é 1, fica mais fácil.
Vamos encontrar diretamente:
Verificando:
Multiplicando por :
[
A \times A^{-1} =
\times
]
Tudo certinho, deu a matriz identidade!
Resposta
A transformação linear T^-1(x, y, z) = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 6 & 4 & 1 x y z = x 2x + y 6x + 4y + z é invertível e a sua inversa é dada pela matriz: