Para cada transformação linear abaixo, verifique se é invertível e calcule a inversa, , se ela existe. definida por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação é invertível, ou seja, se existe uma transformação inversa . Para isso, vamos mexer com matrizes e calcular o determinante, que vai nos dizer se a matriz é inversível ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar essa transformação linear numa matriz. Cada transformação linear de para pode ser representada por uma matriz 3x3. Olhando para a definição de :
Então, a matriz que representa essa transformação é:

Passo 3

Agora, para saber se é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Vamos calcular o determinante de :
Expandindo pelo método de Sarrus ou regra de Sarrus para matrizes 3x3:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que já sabemos que é invertível, vamos encontrar a matriz inversa . Uma maneira de fazer isso é usar o método das matrizes aumentadas ou calcular a adjunta e dividir pelo determinante. Mas, como o determinante é 1, fica mais fácil.
Vamos encontrar diretamente:
Verificando:
Multiplicando por :

[
A \times A^{-1} =

\times


]
Tudo certinho, deu a matriz identidade!

Resposta

A transformação linear é invertível e a sua inversa é dada pela matriz:

[
T^{-1}(x, y, z) =


]
Então, .

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