Fatore as matrizes abaixo como A=X Lambda X^-1, onde X é não-singular e Lambda é diagonal.
(b) A=[ll2 & -8 1 & -4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fatorar a matriz 2 & -8 1 & -4 na forma , onde é uma matriz não-singular (ou seja, inversível) e é uma matriz diagonal. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais em álgebra linear para decompôr matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A - lambda I = 2 - lambda & -8 1 & -4 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-4 - lambda) - (-8)(1) = 0
O determinante é:
(2 - lambda)(-4 - lambda) + 8 = 0
Simplificando:
(-8 - 2lambda + 4lambda + lambda^2) + 8 = 0
lambda^2 + 2lambda = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática lambda(lambda + 2) = 0 :
lambda1 = 0 e lambda2 = -2
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 6

Primeiro, para A - 0 cdot I = A = 2 & -8 1 & -4 :
2v1 - 8v2 = 0 v1 - 4v2 = 0
Resolvendo v1 = 4v2 :
v1 = 4 1
Podemos ver que as duas equações são equivalentes. Vamos expressar em termos de :
Então, podemos escolher , resultando no autovetor:

Passo 7

Agora, para A - (-2)I = A + 2I = 4 & -8 1 & -2 :
4v1 - 8v2 = 0 v1 - 2v2 = 0
Resolvendo v1 = 2v2 :
v2 = 2 1
Novamente, as equações são equivalentes. Expressando em termos de :
Escolhendo , obtemos o autovetor:

Passo 8

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos construir as matrizes X = 4 & 2 1 & 1 , Lambda = 0 & 0 0 & -2 e :

Passo 9

Finalmente, a fatoração fica:
A = X Lambda X^-1

Resposta

A fatoração da matriz A = 4 & 2 1 & 1 0 & 0 0 & -2 4 & 2 1 & 1 ^-1 é:

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