Fatore as matrizes abaixo como
, onde
é não-singular e
é diagonal.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fatorar a matriz
na forma
, onde
é uma matriz não-singular (ou seja, inversível) e
é uma matriz diagonal. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais em álgebra linear para decompôr matrizes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz
:
O determinante é:
Simplificando:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada
. Para cada autovalor, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Passo 6
Primeiro, para
:
Resolvendo
:
Podemos ver que as duas equações são equivalentes. Vamos expressar
em termos de
:
Então, podemos escolher
, resultando no autovetor:
Passo 7
Agora, para
:
Resolvendo
:
Novamente, as equações são equivalentes. Expressando
em termos de
:
Escolhendo
, obtemos o autovetor:
Passo 8
Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos construir as matrizes
e
:
Passo 9
Finalmente, a fatoração fica:
Resposta
A fatoração da matriz
é: