Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fatorar a matriz na forma , onde é uma matriz não-singular (ou seja, inversível) e é uma matriz diagonal. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais em álgebra linear para decompôr matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz :
O determinante é:
Simplificando:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática :
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 6

Primeiro, para :
Resolvendo :
Podemos ver que as duas equações são equivalentes. Vamos expressar em termos de :
Então, podemos escolher , resultando no autovetor:

Passo 7

Agora, para :
Resolvendo :
Novamente, as equações são equivalentes. Expressando em termos de :
Escolhendo , obtemos o autovetor:

Passo 8

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos construir as matrizes e :

Passo 9

Finalmente, a fatoração fica:

Resposta

A fatoração da matriz é:

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(d)
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