Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fatorar a matriz na forma , onde é uma matriz não-singular (ou seja, inversível) e é uma matriz diagonal. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais em álgebra linear para decompôr matrizes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz :
O determinante é:
Simplificando:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos , onde é o autovetor.
Passo 6
Primeiro, para :
Resolvendo :
Podemos ver que as duas equações são equivalentes. Vamos expressar em termos de :
Então, podemos escolher , resultando no autovetor:
Passo 7
Agora, para :
Resolvendo :
Novamente, as equações são equivalentes. Expressando em termos de :
Escolhendo , obtemos o autovetor:
Passo 8
Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos construir as matrizes e :