Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(b) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o vetor é um autovetor da matriz . Isso envolve entender o que é um autovetor e um autovalor. Um autovetor é um vetor que, quando multiplicado pela matriz , resulta em um múltiplo desse mesmo vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto da matriz pelo vetor . Isso significa multiplicar cada linha da matriz por :
Fazendo as multiplicações:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Então, .

Passo 3

Agora, queremos ver se esse resultado é igual a um múltiplo de . Ou seja, existe algum número tal que:
Substituindo e :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver para :
  • Da primeira equação:
  • Da segunda equação:
  • Da terceira equação:
Todas as três equações nos dão o mesmo valor para , que é 4.

Resposta

Sim, o vetor é um autovetor da matriz com autovalor .

Exercícios relacionados

Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(a) e
Considere a matriz . Determine o conjunto solução do sistema , em que , para todos os valores de .
Seja uma transformação linear. Se é sobrejetora e , qual o valor de ?
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(a)