Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(b) e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o vetor 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 é um autovetor da matriz . Isso envolve entender o que é um autovetor e um autovalor. Um autovetor é um vetor que, quando multiplicado pela matriz , resulta em um múltiplo desse mesmo vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor ().
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto da matriz A v = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 1 1 2 pelo vetor 4 4 8. Isso significa multiplicar cada linha da matriz por :
Fazendo as multiplicações:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Então, .
Passo 3
Agora, queremos ver se esse resultado é igual a um múltiplo de A v = lambda v . Ou seja, existe algum número 4 4 8 = lambda 1 1 2 tal que:
4 = lambda times 1 4 = lambda times 1 8 = lambda times 2
Substituindo e :
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver para :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Todas as três equações nos dão o mesmo valor para , que é 4.
Resposta
Sim, o vetor é um autovetor da matriz com autovalor .