Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor v é autovetor da matriz A, isto é, verifique se A v=lambda v para algum (autovalor) lambda.
(b) v=(1,1,2) e A=[lll1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o vetor 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 é um autovetor da matriz . Isso envolve entender o que é um autovetor e um autovalor. Um autovetor é um vetor que, quando multiplicado pela matriz , resulta em um múltiplo desse mesmo vetor. Esse múltiplo é chamado de autovalor ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto da matriz A v = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 1 1 2 pelo vetor 4 4 8. Isso significa multiplicar cada linha da matriz por :
Fazendo as multiplicações:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Então, .

Passo 3

Agora, queremos ver se esse resultado é igual a um múltiplo de A v = lambda v . Ou seja, existe algum número 4 4 8 = lambda 1 1 2 tal que:
4 = lambda times 1 4 = lambda times 1 8 = lambda times 2
Substituindo e :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver para :
  • Da primeira equação:
  • Da segunda equação:
  • Da terceira equação:
Todas as três equações nos dão o mesmo valor para , que é 4.

Resposta

Sim, o vetor é um autovetor da matriz com autovalor .

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