faça o que se pede:
c) (2,0 pontos) Verifique se A é diagonalizável, em caso afirmativo encontre as matrizes P, D e P^-1, tais que A=P D P^-1;
Passo 1
Beleza, então temos a matriz A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 dada por:
A questão pede para verificar se é diagonalizável e, se for, encontrar as matrizes , e tais que . Vamos precisar entender sobre diagonalização de matrizes, que envolve encontrar autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para A - I = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 :
Resolvemos - v1 + v2 = 0 v1 - v2 = 0 0 = 0 :
v = t t s , t, s in R
Isso nos dá o sistema:
v1 = 1 1 0 , v2 = 0 0 1
Das duas primeiras equações, vemos que A + I = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 . O terceiro componente v1 + v2 = 0 v1 + v2 = 0 2 v3 = 0 é livre. Então, os autovetores são da forma:
v = t - t 0 , t in R
Podemos escolher dois autovetores linearmente independentes, por exemplo:
v3 = 1 -1 0
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, , e da terceira, . Então, os autovetores são da forma:
Podemos escolher:
Passo 5
Com os autovetores encontrados, podemos construir a matriz P = 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 com esses vetores como colunas:
D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
A matriz será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal, correspondentes às colunas de :
Agora, precisamos encontrar , que é a inversa de .
Passo 6
Para encontrar P = 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 , calculamos a inversa da matriz P^-1 = 1det(P) cdot adj(P) :