Seja a matriz A
A=[lll 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ]
faça o que se pede:
c) (2,0 pontos) Verifique se A é diagonalizável, em caso afirmativo encontre as matrizes P, D e P^-1, tais que A=P D P^-1;

Passo 1

Beleza, então temos a matriz A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 dada por:
A questão pede para verificar se é diagonalizável e, se for, encontrar as matrizes , e tais que . Vamos precisar entender sobre diagonalização de matrizes, que envolve encontrar autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando A - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (-lambda) cdot det -lambda & 0 0 & 1 - lambda - 1 cdot det 1 & 0 0 & 1 - lambda + 0 cdot det 1 & -lambda 0 & 0
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda) cdot ((-lambda)(1 - lambda)) - 1 cdot (1 cdot (1 - lambda))
Simplificando:
= -lambda (-lambda)(1 - lambda) - (1 - lambda)
= lambda^2 (1 - lambda) - (1 - lambda)
= (1 - lambda)(lambda^2 - 1)
= (1 - lambda)(lambda - 1)(lambda + 1)
= -(lambda - 1)^2 (lambda + 1)
-(lambda - 1)^2 (lambda + 1) = 0
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para A - I = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 :
Resolvemos - v1 + v2 = 0 v1 - v2 = 0 0 = 0 :
v = t t s , t, s in R
Isso nos dá o sistema:
v1 = 1 1 0 , v2 = 0 0 1
Das duas primeiras equações, vemos que A + I = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 . O terceiro componente v1 + v2 = 0 v1 + v2 = 0 2 v3 = 0 é livre. Então, os autovetores são da forma:
v = t - t 0 , t in R
Podemos escolher dois autovetores linearmente independentes, por exemplo:
v3 = 1 -1 0
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, , e da terceira, . Então, os autovetores são da forma:
Podemos escolher:

Passo 5

Com os autovetores encontrados, podemos construir a matriz P = 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 com esses vetores como colunas:
D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
A matriz será a matriz diagonal com os autovalores na diagonal, correspondentes às colunas de :
Agora, precisamos encontrar , que é a inversa de .

Passo 6

Para encontrar P = 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 , calculamos a inversa da matriz P^-1 = 1det(P) cdot adj(P) :
det(P) = 1 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 1 cdot (0 + 1) - 0 + 1 cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2
Podemos usar métodos como a matriz adjunta ou a eliminação de Gauss. Neste caso, vamos calcular diretamente:
Calculando adj(P) = 0 cdot 0 - (-1) cdot 1 & -(1 cdot 0 - (-1) cdot 0) & 1 cdot 1 - 0 cdot 0 -(0 cdot 0 - 1 cdot 1) & 1 cdot 0 - 1 cdot 0 & -(1 cdot 1 - 0 cdot 0) 1 cdot (-1) - 0 cdot 1 & -(1 cdot (-1) - 0 cdot 1) & 1 cdot 0 - 0 cdot 0 :
= 0 + 1 & -(0 - 0) & 1 - 0 -(0 - 1) & 0 - 0 & -(1 - 0) -1 - 0 & -(-1 - 0) & 0 - 0
Primeiro, calculamos o determinante de = 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 0 :
P^-1 = 12 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 0
Em seguida, calculamos a matriz adjunta de :
Portanto,

Resposta

Sim, a matriz P = 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 , P^-1 = 12 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 0 é diagonalizável. As matrizes , e são:

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