Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma equação cartesiana que represente o gráfico da curva definida pelas equações paramétricas dadas:
Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria e geometria analítica, especialmente sobre circunferências e como transformar equações paramétricas em cartesianos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas definem cada coordenada e em função de um parâmetro . Nosso objetivo é eliminar esse parâmetro para obter uma relação direta entre e .
Temos:

Passo 3

Vamos isolar e em cada uma das equações.
Para :
Para :

Passo 4

Sabemos da identidade trigonométrica que:
Vamos substituir e pelas expressões que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação:
Podemos multiplicar todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:

Resposta

A equação cartesiana que representa o gráfico da curva é:

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Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(g) .
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(d)
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(b) .
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(f) .