Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma equação cartesiana que represente o gráfico da curva definida pelas equações paramétricas dadas:
Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria e geometria analítica, especialmente sobre circunferências e como transformar equações paramétricas em cartesianos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas definem cada coordenada
e
em função de um parâmetro
. Nosso objetivo é eliminar esse parâmetro para obter uma relação direta entre
e
.
Temos:
Passo 3
Vamos isolar
e em cada uma das equações.
Para
:
Para
:
Passo 4
Sabemos da identidade trigonométrica que:
Vamos substituir
e pelas expressões que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação:
Podemos multiplicar todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
Resposta
A equação cartesiana que representa o gráfico da curva é:
Exercícios relacionados
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(g) .
(g)
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(d)
(d)
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(b) .
(b)
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(f) .
(f)