Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva definida pelas equações paramétricas
e
, onde
. Isso envolve entender sobre curvas paramétricas e como o parâmetro
afeta a posição da curva no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas descrevem uma curva no plano definindo
e
em termos de um terceiro parâmetro, que nesse caso é
. Isso nos permite traçar a curva variando
e calculando os correspondentes
e
.
Passo 3
Vamos então expressar
em função de
. Temos
. Isso significa que conforme
aumenta, o valor de
diminui linearmente.
Passo 4
Agora, para
, isso indica que
é a raiz quadrada de
. Então, conforme
aumenta,
também aumenta, mas a uma taxa que diminui (porque a raiz quadrada cresce mais devagar que uma função linear).
Passo 5
Para visualizar a curva, vamos eliminar o parâmetro
. Sabemos que
da segunda equação. Substituindo isso na primeira equação, temos:
Isso relaciona
e
diretamente.
Passo 6
Vamos agora considerar o domínio de
. Como
, então
implica que
. Além disso,
exige que
, portanto
também.
Passo 7
Para esboçar a curva, vamos calcular alguns pontos:
- Quando
: , - Quando
: , - Quando
: ,
Passo 8
Plotando esses pontos e conectando-os suavemente, vemos que a curva é a metade superior da parábola
, começando em
e se estendendo para a direita conforme
diminui.
Passo 9
O sentido de crescimento do parâmetro
é conforme nos movemos do ponto
para
e além. Ou seja, à medida que
aumenta,
aumenta e
diminui.
Resposta
A curva é a metade superior da parábola
, iniciando no ponto
e estendendo-se para a direita conforme
diminui. O sentido de crescimento do parâmetro
é do ponto
para
e além.