Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma equação cartesiana a partir das equações paramétricas dadas:
Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especialmente sobre curvas paramétricas. Vamos precisar usar um pouco das identidades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica básica que é sempre útil:
Essa identidade nos permite relacionar as expressões de e de uma forma que possamos eliminar o parâmetro .

Passo 3

Agora, vamos isolar e nas equações paramétricas:
  • Da primeira equação:
  • Da segunda equação:

Passo 4

Com essas expressões, substituímos na identidade trigonométrica que mencionamos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Essa é a equação cartesiana que representa a curva traçada pelas equações paramétricas dadas.

Resposta

A equação cartesiana é

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Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( e são constantes).
(vii)
Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
(a)
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( e são constantes).
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(d) .