Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar um par de equações paramétricas em uma equação cartesiana. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos como representar curvas no plano usando diferentes tipos de equações. Para resolver isso, vamos precisar usar as identidades trigonométricas básicas e saber como eliminar o parâmetro
das equações.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações paramétricas que temos:
Aqui,
é o parâmetro que geralmente representa o ângulo em funções trigonométricas.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para chegar a uma relação direta entre
e
. Observando as equações, vemos que ambas envolvem funções cosseno e seno multiplicadas por 2.
Passo 4
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona o seno e o cosseno:
Vamos usar essa identidade para eliminar
.
Passo 5
Primeiro, isolamos
e nas equações dadas:
Passo 6
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica:
Passo 7
Calculando os quadrados:
Passo 8
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 4 para eliminar os denominadores:
Resposta
A equação cartesiana correspondente é: