Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(b) sumn=1^infty (-1)^n e^12n^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos os testes da razão ou da raiz para determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n e^12n^3 converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, precisamos entender um pouco sobre séries alternadas e os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, observamos que a série é alternada por causa do termo (-1)^n. Séries alternadas têm termos que mudam de sinal a cada termo. Mas antes de aplicar qualquer teste, vamos verificar se a série converge absolutamente.

Passo 3

Para testar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | (-1)^n e^12n^3 | = sumn=1^infty e^12n^3
Essa é uma série p, onde p = 3. Sabemos que uma série p converge se p > 1.

Passo 4

Como p = 3 > 1, a série dos valores absolutos converge. Isso significa que a série original converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge de forma condicional, mas a convergência absoluta é uma condição mais forte.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n e^12n^3 converge absolutamente.

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