Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o teste da comparação para decidir se a série converge ou diverge. O teste da comparação é uma ferramenta que comparamos a série em questão com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Se a série que comparamos é maior e ela converge, a nossa série também converge, e vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que é igual a . Então:
No entanto, para aplicar o teste da comparação, é mais fácil trabalhar com termos positivos. Então, vamos considerar o valor absoluto dos termos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma série com termos que sejam maiores ou iguais aos nossos termos absolutos e que sabemos se ela converge ou diverge. Observamos que é uma série geométrica com razão , que é menor que 1.
Sabemos que uma série geométrica converge se . Nesse caso, como , a série converge.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação, já que:
0 <= | 12(-5)^n | = 125^n
E converge, então, pela comparação, a série original também converge.