Esboce a curva de nivel f(x, y) = C, para cada C dada f(x, y) = x - y - 2, C = 4, C = 2, C = 0, C = -2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar as curvas de nível da função para vários valores de (especificamente, , , e ). Curvas de nível são basicamente todas as combinações de e que fazem a função igual a um valor constante . Vamos precisar usar um pouco de álgebra para rearranjar a equação e entender como essas curvas se comportam no grafico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Substituindo a função:
Agora, vamos isolar o para deixar a equação na forma de uma reta, que é mais fácil de esboçar:
Então, a equação da curva de nível para um valor específico de é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada valor de dado no exercício.
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 4

Cada uma dessas equações representa uma reta no plano cartesiano. Vamos resumir:
  • :
  • :
  • :
  • :
Essas retas todas têm inclinação 1, o que significa que elas sobem uma unidade no eixo para cada unidade que avançam no eixo . A diferença está nos interceptos no eixo .

Passo 5

Para esboçar as curvas de nível, basta desenhar essas retas no plano cartesiano:
  1. : Passa pelo ponto (6,0)
  2. : Passa pelo ponto (4,0)
  3. : Passa pelo ponto (2,0)
  4. : Passa pela origem (0,0)
Traçando essas retas, você verá que todas são paralelas entre si, cada uma deslocada verticalmente em relação à outra.

Resposta

As curvas de nível são retas paralelas definidas por:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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