Esboce a curva de nivel
, para cada
dada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar as curvas de nível da função
para vários valores de
(especificamente,
,
,
e
). Curvas de nível são basicamente todas as combinações de
e
que fazem a função igual a um valor constante
. Vamos precisar usar um pouco de álgebra para rearranjar a equação e entender como essas curvas se comportam no grafico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Substituindo a função:
Agora, vamos isolar o
para deixar a equação na forma de uma reta, que é mais fácil de esboçar:
Então, a equação da curva de nível para um valor específico de
é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada valor de
dado no exercício.
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Cada uma dessas equações representa uma reta no plano cartesiano. Vamos resumir:
-
: -
: -
: -
:
Essas retas todas têm inclinação 1, o que significa que elas sobem uma unidade no eixo
para cada unidade que avançam no eixo
. A diferença está nos interceptos no eixo
.
Passo 5
Para esboçar as curvas de nível, basta desenhar essas retas no plano cartesiano:
-
: Passa pelo ponto (6,0) -
: Passa pelo ponto (4,0) -
: Passa pelo ponto (2,0) -
: Passa pela origem (0,0)
Traçando essas retas, você verá que todas são paralelas entre si, cada uma deslocada verticalmente em relação à outra.
Resposta
As curvas de nível são retas paralelas definidas por:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: