Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por
e é normal a
.
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e
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos diferentes formas de representar um plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a equação geral do plano, a forma vetorial e a forma paramétrica. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação geral do plano. A equação geral é dada por:
onde
são as componentes do vetor normal
ao plano, e
é uma constante que podemos encontrar usando o ponto pelo qual o plano passa.
Passo 3
Como o plano passa pelo ponto
, substituímos essas coordenadas na equação geral:
Então, a equação geral do plano fica:
Passo 4
Agora, vamos para a forma vetorial do plano. A forma vetorial utiliza um ponto conhecido no plano e dois vetores diretores que estão no plano. Sabemos que o vetor normal
está perpendicular ao plano, então precisamos encontrar dois vetores que sejam perpendiculares a
.
Vamos escolher:
Verificamos que ambos são perpendiculares a
calculando o produto escalar:
Então, a forma vetorial do plano é:
Passo 5
Por fim, vamos expressar o plano na forma paramétrica. A forma paramétrica separa as coordenadas
,
e
em termos de parâmetros. A partir da forma vetorial que achamos:
Onde
e
são parâmetros que podem assumir qualquer valor real.
Resposta
- Equação geral do plano:
- Forma vetorial:
, onde - Forma paramétrica:
Onde e são parâmetros reais.