Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por A e é normal a n.
© A=(0,0,0) e vec(n) = (3, 1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos diferentes formas de representar um plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a equação geral do plano, a forma vetorial e a forma paramétrica. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação geral do plano. A equação geral é dada por:
onde são as componentes do vetor normal ao plano, e é uma constante que podemos encontrar usando o ponto pelo qual o plano passa.

Passo 3

Como o plano passa pelo ponto , substituímos essas coordenadas na equação geral:
Então, a equação geral do plano fica:

Passo 4

Agora, vamos para a forma vetorial do plano. A forma vetorial utiliza um ponto conhecido no plano e dois vetores diretores que estão no plano. Sabemos que o vetor normal está perpendicular ao plano, então precisamos encontrar dois vetores que sejam perpendiculares a .
Vamos escolher:
Verificamos que ambos são perpendiculares a calculando o produto escalar:
Então, a forma vetorial do plano é:

Passo 5

Por fim, vamos expressar o plano na forma paramétrica. A forma paramétrica separa as coordenadas , e em termos de parâmetros. A partir da forma vetorial que achamos:
Onde e são parâmetros que podem assumir qualquer valor real.

Resposta

  • Equação geral do plano:
  • Forma vetorial: , onde
  • Forma paramétrica: Onde e são parâmetros reais.

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