Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por A e é normal a n.
(b) A=(0,3,-1) e vec(n) = (0, 1, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar três tipos de equações para um plano que passa pelo ponto A=(0,3,-1) e é normal ao vetor vec(n) = (0, 1, -1). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a equação do plano. Para isso, vamos precisar saber como usar um ponto e um vetor normal para formular as equações geral, vetorial e paramétrica do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano. A equação geral de um plano pode ser escrita como:
Onde é um ponto no plano (no nosso caso, o ponto A) e (a, b, c) são as coordenadas do vetor normal n.

Passo 3

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto , então , ,
  • Vetor normal , então , ,
Substituindo na equação geral:
Simplificando:
Então, a equação geral do plano é:

Passo 4

Agora, vamos para a equação vetorial do plano. A equação vetorial usa um ponto no plano e dois vetores diretores. No nosso caso, sabemos o vetor normal, mas precisamos encontrar dois vetores que estão no plano e são perpendiculares ao vetor normal.
Vamos chamar esses vetores de u e v. Para simplificar, podemos escolher e . Você pode verificar que ambos são perpendiculares a n:
Agora, a equação vetorial fica:
Onde r é um vetor posição qualquer no plano, s e t são parâmetros.
Substituindo:

Passo 5

Por fim, vamos determinar as equações paramétricas do plano. A partir da equação vetorial que encontramos, podemos separar as componentes para obter as equações em forma paramétrica:
Então, as equações paramétricas do plano são:

Resposta

As equações do plano são:
  • Equação Geral:
  • Equação Vetorial:
  • Equações Paramétricas:

Exercícios relacionados