Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por
e é normal a
.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar três tipos de equações para um plano que passa pelo ponto
e é normal ao vetor
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a equação do plano. Para isso, vamos precisar saber como usar um ponto e um vetor normal para formular as equações geral, vetorial e paramétrica do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano. A equação geral de um plano pode ser escrita como:
Onde
é um ponto no plano (no nosso caso, o ponto
) e
são as coordenadas do vetor normal
.
Passo 3
Substituindo os valores que temos:
- Ponto
, então , , - Vetor normal
, então , ,
Substituindo na equação geral:
Simplificando:
Então, a equação geral do plano é:
Passo 4
Agora, vamos para a equação vetorial do plano. A equação vetorial usa um ponto no plano e dois vetores diretores. No nosso caso, sabemos o vetor normal, mas precisamos encontrar dois vetores que estão no plano e são perpendiculares ao vetor normal.
Vamos chamar esses vetores de
e
. Para simplificar, podemos escolher
e
. Você pode verificar que ambos são perpendiculares a
:
Agora, a equação vetorial fica:
Onde
é um vetor posição qualquer no plano,
e
são parâmetros.
Substituindo:
Passo 5
Por fim, vamos determinar as equações paramétricas do plano. A partir da equação vetorial que encontramos, podemos separar as componentes para obter as equações em forma paramétrica:
Então, as equações paramétricas do plano são:
Resposta
As equações do plano são:
-
Equação Geral:
-
Equação Vetorial:
-
Equações Paramétricas: