Seya
Mostre que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: temos uma função complexa
definida de forma diferente quando
é zero e quando não é. Precisamos mostrar que
não possui derivada no ponto
. Para isso, vamos usar os conceitos de derivabilidade de funções complexas e analisar se o limite que define a derivada existe nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como definir a derivada de uma função complexa no ponto
. A derivada
é dada por:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Nosso objetivo é verificar se esse limite existe.
Passo 3
Vamos expressar
em termos de suas partes real e imaginária, ou seja,
, onde
e
são números reais. Assim, a função
fica:
quando
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Podemos simplificar isso dividindo
no numerador e no denominador:
Passo 5
Para que a derivada
exista, o limite
deve ser o mesmo independente de como
se aproxima de 0. Vamos verificar isso examinando diferentes caminhos para
se aproximar de 0.
Passo 6
Primeiro Caminho: Suponha que
, ou seja, aproximamos-se de 0 ao longo do eixo real.
O limite nesse caso é 0.
Segundo Caminho: Suponha que
, aproximando-se ao longo do eixo imaginário.
Quando
, o limite também é 0.
Terceiro Caminho: Suponha que
para alguma constante
.
À medida que
, esse limite também tende a 0.
Passo 7
Apesar de todos esses caminhos darem limite 0, precisamos confirmar se isso acontece para todos os caminhos possíveis. Vamos considerar um caminho diferente:
Quarto Caminho: Suponha que
.
Quando
,
, então o limite ainda é 0.
Passo 8
Embora os limites pareçam sempre tender a 0, para a derivada existir em funções complexas, a função precisa ser analítica, ou seja, satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Vamos verificar isso:
Vamos dividir
em suas partes real e imaginária:
As condições de Cauchy-Riemann são:
Ao calcular essas derivadas, veremos que elas não são satisfeitas em
, o que indica que a função não é analítica nesse ponto.
Resposta
Portanto, a função
não possui derivada no ponto
.