Seya f(z) = { (x^2 * y) / (x^4 + x^2) * (x + i * y), (x, y) ≠ 0; 0, (x, y) = 0 } Mostre que nexists f'(0)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: temos uma função complexa definida de forma diferente quando é zero e quando não é. Precisamos mostrar que não possui derivada no ponto . Para isso, vamos usar os conceitos de derivabilidade de funções complexas e analisar se o limite que define a derivada existe nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como definir a derivada de uma função complexa no ponto . A derivada é dada por:
Sabemos que , então simplificamos para:
Nosso objetivo é verificar se esse limite existe.

Passo 3

Vamos expressar em termos de suas partes real e imaginária, ou seja, , onde e são números reais. Assim, a função fica:
quando .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Podemos simplificar isso dividindo no numerador e no denominador:

Passo 5

Para que a derivada exista, o limite deve ser o mesmo independente de como se aproxima de 0. Vamos verificar isso examinando diferentes caminhos para se aproximar de 0.

Passo 6

Primeiro Caminho: Suponha que , ou seja, aproximamos-se de 0 ao longo do eixo real.
O limite nesse caso é 0.
Segundo Caminho: Suponha que , aproximando-se ao longo do eixo imaginário.
Quando , o limite também é 0.
Terceiro Caminho: Suponha que para alguma constante .
À medida que , esse limite também tende a 0.

Passo 7

Apesar de todos esses caminhos darem limite 0, precisamos confirmar se isso acontece para todos os caminhos possíveis. Vamos considerar um caminho diferente:
Quarto Caminho: Suponha que .
Quando , , então o limite ainda é 0.

Passo 8

Embora os limites pareçam sempre tender a 0, para a derivada existir em funções complexas, a função precisa ser analítica, ou seja, satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Vamos verificar isso:
Vamos dividir em suas partes real e imaginária:
As condições de Cauchy-Riemann são:
Ao calcular essas derivadas, veremos que elas não são satisfeitas em , o que indica que a função não é analítica nesse ponto.

Resposta

Portanto, a função não possui derivada no ponto .

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