Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações geral, vetorial e paramétricas de um plano que passa pelo ponto e é normal ao vetor . Aqui, estamos lidando com a geometria analítica no espaço tridimensional. Precisamos entender como usar um ponto e um vetor normal para determinar as diferentes formas das equações de um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano. A equação geral de um plano pode ser escrita como:
onde é um ponto no plano e é o vetor normal ao plano.
Passo 3
Substituindo os valores dados:
Ponto , então , , .
Vetor normal , então , , .
A equação geral fica:
Passo 4
Simplificando a equação:
Então, a equação geral do plano é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
onde é a posição de um ponto no plano, e e são vetores diretores que estão no plano.
Passo 6
Como o vetor normal está perpendicular ao plano, podemos escolher vetores diretores que sejam perpendiculares a . Por exemplo, podemos escolher:
Assim, a equação vetorial fica:
Passo 7
Finalmente, vamos escrever as equações paramétricas do plano. A partir da equação vetorial, extraímos as componentes: