Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por e é normal a .
© e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações geral, vetorial e paramétricas de um plano que passa pelo ponto e é normal ao vetor . Aqui, estamos lidando com a geometria analítica no espaço tridimensional. Precisamos entender como usar um ponto e um vetor normal para determinar as diferentes formas das equações de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano. A equação geral de um plano pode ser escrita como:
onde é um ponto no plano e é o vetor normal ao plano.

Passo 3

Substituindo os valores dados:
  • Ponto , então , , .
  • Vetor normal , então , , .
A equação geral fica:

Passo 4

Simplificando a equação:
Então, a equação geral do plano é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita como:
onde é a posição de um ponto no plano, e e são vetores diretores que estão no plano.

Passo 6

Como o vetor normal está perpendicular ao plano, podemos escolher vetores diretores que sejam perpendiculares a . Por exemplo, podemos escolher:
Assim, a equação vetorial fica:

Passo 7

Finalmente, vamos escrever as equações paramétricas do plano. A partir da equação vetorial, extraímos as componentes:

Resposta

As equações do plano são:
  • Equação geral:
  • Equação vetorial:
  • Equações paramétricas:
onde e são parâmetros reais.

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