Encontre todas as volucóes das equasóes cos(z) = 3/4 + i/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Aqui, estamos lidando com números complexos e a função cosseno estendida para eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno funciona no conjunto dos números complexos e usar algumas propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para números complexos, o cosseno pode ser expresso usando exponenciais complexas:
Essa fórmula nos ajuda a trabalhar com a função cosseno quando z é um número complexo.

Passo 3

Vamos considerar z como um número complexo geral, ou seja, , onde x e y são números reais, e i é a unidade imaginária. Assim, precisamos encontrar valores de x e y que satisfaçam a equação dada.

Passo 4

Substituindo na expressão do cosseno complexo, temos:
Isso vem das propriedades das funções trigonométricas e hiperbólicas para números complexos.

Passo 5

Agora, igualamos a parte real e a parte imaginária da expressão acima aos lados correspondentes na equação original:
Parte real:
Parte imaginária:

Passo 6

Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( x e y). Para resolver, podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar uma das variáveis:
Isso nos dá uma relação entre x e y que podemos usar para encontrar soluções.

Passo 7

Resolvendo para y em termos de x, temos:
Agora, usando a definição da função hiperbólica tangente inversa, podemos encontrar y em função de x.

Passo 8

As soluções para x e y podem ser expressas em termos das funções inversas das relações acima, levando em conta a periodicidade das funções trigonométricas e hiperbólicas. Portanto, as soluções gerais são:
Onde x e y satisfazem as equações obtidas anteriormente.

Resposta

Todas as soluções da equação são da forma:
onde denota a função arco-cosseno no conjunto dos números complexos.

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