Encontre todas as volucóes das equasóes
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Aqui, estamos lidando com números complexos e a função cosseno estendida para eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno funciona no conjunto dos números complexos e usar algumas propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para números complexos, o cosseno pode ser expresso usando exponenciais complexas:
Essa fórmula nos ajuda a trabalhar com a função cosseno quando
é um número complexo.
Passo 3
Vamos considerar
como um número complexo geral, ou seja,
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. Assim, precisamos encontrar valores de
e
que satisfaçam a equação dada.
Passo 4
Substituindo
na expressão do cosseno complexo, temos:
Isso vem das propriedades das funções trigonométricas e hiperbólicas para números complexos.
Passo 5
Agora, igualamos a parte real e a parte imaginária da expressão acima aos lados correspondentes na equação original:
Parte real:
Parte imaginária:
Passo 6
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Para resolver, podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar uma das variáveis:
Isso nos dá uma relação entre
e
que podemos usar para encontrar soluções.
Passo 7
Resolvendo para
em termos de
, temos:
Agora, usando a definição da função hiperbólica tangente inversa, podemos encontrar
em função de
.
Passo 8
As soluções para
e
podem ser expressas em termos das funções inversas das relações acima, levando em conta a periodicidade das funções trigonométricas e hiperbólicas. Portanto, as soluções gerais são:
Onde
e
satisfazem as equações obtidas anteriormente.
Resposta
Todas as soluções da equação
são da forma:
onde
denota a função arco-cosseno no conjunto dos números complexos.
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por
e é normal a
.
© e
.
©
Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por
e é normal a
.
(b) e
.
(b)
Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por
e é paralelo a
e
.
(b) e
.
(b)
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