Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por e é paralelo a e .
© e e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos as equações geral, vetorial e paramétricas de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, como planos e vetores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor normal é .

Passo 3

Agora que temos o vetor normal e o ponto pelo qual o plano passa, podemos escrever a equação geral do plano. A equação geral de um plano é dada por:
Onde é um ponto no plano e são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por -2 para simplificar:
Então, a equação geral do plano é .

Passo 4

Agora vamos para a equação vetorial do plano. A equação vetorial expressa qualquer ponto no plano como uma combinação linear do ponto de referência e dos vetores diretores.
Como o plano passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e , podemos escrever:
Onde e são parâmetros escalares.
Substituindo:
Portanto, a equação vetorial do plano é:

Passo 5

Por último, vamos elaborar as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas expressam , e em função dos parâmetros e .
A partir da equação vetorial:
Podemos escrever cada componente:
Então, as equações paramétricas do plano são:

Resposta

As equações do plano são:
  • Equação Geral:
  • Equação Vetorial:
  • Equações Paramétricas:

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Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por e é paralelo a e .
(b) e .
Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(a) .
Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(b)