Encontre todas as volucóes das equasóes cosh(z) = (1 + 2i) / (2 + 2i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todas as soluções da equação . Vamos usar conceitos de funções hiperbólicas e números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração do lado direito: . Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar o imaginário no denominador.
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, lembrando que para um número complexo , a função cosseno hiperbólico é dada por:
Igualando as partes reais e imaginárias, temos:

Passo 4

Dividindo a segunda equação pela primeira, conseguimos relacionar x e y:
Isso nos permite expressar y em termos de x ou vice-versa, mas para encontrar todas as soluções, usamos a fórmula inversa da função cosseno hiperbólico.

Passo 5

A inversa da função cosseno hiperbólico para números complexos é dada por:
Substituindo na fórmula:

Resposta

Todas as soluções da equação são dadas por

Exercícios relacionados