Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar todas as soluções da equação . Vamos usar conceitos de funções hiperbólicas e números complexos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração do lado direito: . Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar o imaginário no denominador.
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, lembrando que para um número complexo , a função cosseno hiperbólico é dada por:
Igualando as partes reais e imaginárias, temos:
Passo 4
Dividindo a segunda equação pela primeira, conseguimos relacionar e :
Isso nos permite expressar em termos de ou vice-versa, mas para encontrar todas as soluções, usamos a fórmula inversa da função cosseno hiperbólico.
Passo 5
A inversa da função cosseno hiperbólico para números complexos é dada por: