Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(a) (x, y, z) = (3s + t - 1, t - s, 3 + 2t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar um vetor normal e um ponto que esteja no plano dado. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar vetores normais usando vetores diretores e como identificar um ponto no plano a partir da parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parametrização do plano: . Aqui, s e t são os parâmetros. Podemos reescrever isso como:
Isso significa que o plano é gerado por dois vetores diretores, que são os coeficientes de s e t.

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores:
  • O vetor que acompanha o s é
  • O vetor que acompanha o t é
Para encontrar o vetor normal ao plano, fazemos o produto cruzado desses dois vetores:
Calculando:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 4

Agora, para encontrar um ponto no plano, basta atribuir valores aos parâmetros s e t. Vamos escolher e :
Então, o ponto é .

Resposta

Vetor normal:
Ponto no plano:

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