A=integral-raiz22^raiz22(raiz1-x^2-raiz2 x^2) d x
Reescreva esta expressão, utilizando:
(a) integração em relação a y;
(b) coordenadas paramétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral definida que mistura umas raízes e um termo quadrático. O enunciado pede pra reescrever essa integral de duas maneiras diferentes: primeiro, integrando em relação a y, e depois usando coordenadas paramétricas. Então, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo integral e de como mudar a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a), que é reescrever a integral em relação a y. Para isso, a gente precisa expressar a função que está dentro da integral em termos de y em vez de x. Isso envolve uma mudança de variável, onde essencialmente trocamos x por y na expressão.

Passo 3

A gente sabe que, quando mudamos a variável de integração, precisamos ajustar os limites da integral e também a expressão da função. Vamos supor que y seja função de x, então a gente resolve essa relação para encontrar x em termos de y. Dessa forma, substituímos tudo na integral original.

Passo 4

Vamos considerar a substituição y = x. Com isso, a integral fica praticamente a mesma, mas agora em termos de y. Então, a expressão reescrita em relação a y fica:
A = integral-raiz22^raiz22 (raiz1 - y^2 - raiz2 y^2) dy

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), que pede para reescrever a integral usando coordenadas paramétricas. Isso significa que vamos expressar x e y em termos de um parâmetro, geralmente denotado por t. Essa técnica é útil para transformar integrais complicadas em formas mais fáceis de resolver.

Passo 6

Vamos escolher uma parametrização adequada para a expressão dentro da integral. Por exemplo, podemos definir x = sin t, que simplifica a parte raiz1 - x^2 para cos t. Com essa substituição, também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com os novos parâmetros.

Passo 7

Calculando a derivada de x em relação a t, temos dx = cos t , dt. Agora, substituímos x e dx na integral original:
A = integralt1^t2 (cos t - raiz2 sin^2 t) cos t , dt

Passo 8

Determinar os novos limites de integração é essencial. Sabendo que x = -raiz22 quando t = -pi4 e x = raiz22 quando t = pi4, a integral em termos de t fica:
A = integral-pi4^pi4 (cos t - raiz2 sin^2 t) cos t , dt

Resposta

Reescrevendo a integral original:
(a) Em relação a y:
A = integral-raiz22^raiz22 (raiz1 - y^2 - raiz2 y^2) dy
(b) Usando coordenadas paramétricas:
A = integral-pi4^pi4 (cos t - raiz2 sin^2 t) cos t , dt

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