Reescreva esta expressão, utilizando:
(a) integração em relação a
;
(b) coordenadas paramétricas.
(a) integração em relação a
(b) coordenadas paramétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral definida que mistura umas raízes e um termo quadrático. O enunciado pede pra reescrever essa integral de duas maneiras diferentes: primeiro, integrando em relação a
, e depois usando coordenadas paramétricas. Então, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo integral e de como mudar a variável de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a), que é reescrever a integral em relação a
. Para isso, a gente precisa expressar a função que está dentro da integral em termos de
em vez de
. Isso envolve uma mudança de variável, onde essencialmente trocamos
por
na expressão.
Passo 3
A gente sabe que, quando mudamos a variável de integração, precisamos ajustar os limites da integral e também a expressão da função. Vamos supor que
seja função de
, então a gente resolve essa relação para encontrar
em termos de
. Dessa forma, substituímos tudo na integral original.
Passo 4
Vamos considerar a substituição
. Com isso, a integral fica praticamente a mesma, mas agora em termos de
. Então, a expressão reescrita em relação a
fica:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b), que pede para reescrever a integral usando coordenadas paramétricas. Isso significa que vamos expressar
e
em termos de um parâmetro, geralmente denotado por
. Essa técnica é útil para transformar integrais complicadas em formas mais fáceis de resolver.
Passo 6
Vamos escolher uma parametrização adequada para a expressão dentro da integral. Por exemplo, podemos definir
, que simplifica a parte
para
. Com essa substituição, também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com os novos parâmetros.
Passo 7
Calculando a derivada de
em relação a
, temos
. Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 8
Determinar os novos limites de integração é essencial. Sabendo que
quando
e
quando
, a integral em termos de
fica:
Resposta
Reescrevendo a integral original:
(a) Em relação a
:
(b) Usando coordenadas paramétricas:
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(a) .
(a)
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(b) .
(b)
Seja
. Verifique que
é contínua em
, que
, mas que não existe
tal que
. Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?