Reescreva esta expressão, utilizando:
(a) integração em relação a ;
(b) coordenadas paramétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral definida que mistura umas raízes e um termo quadrático. O enunciado pede pra reescrever essa integral de duas maneiras diferentes: primeiro, integrando em relação a , e depois usando coordenadas paramétricas. Então, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo integral e de como mudar a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a), que é reescrever a integral em relação a . Para isso, a gente precisa expressar a função que está dentro da integral em termos de em vez de . Isso envolve uma mudança de variável, onde essencialmente trocamos por na expressão.

Passo 3

A gente sabe que, quando mudamos a variável de integração, precisamos ajustar os limites da integral e também a expressão da função. Vamos supor que seja função de , então a gente resolve essa relação para encontrar em termos de . Dessa forma, substituímos tudo na integral original.

Passo 4

Vamos considerar a substituição . Com isso, a integral fica praticamente a mesma, mas agora em termos de . Então, a expressão reescrita em relação a fica:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b), que pede para reescrever a integral usando coordenadas paramétricas. Isso significa que vamos expressar e em termos de um parâmetro, geralmente denotado por . Essa técnica é útil para transformar integrais complicadas em formas mais fáceis de resolver.

Passo 6

Vamos escolher uma parametrização adequada para a expressão dentro da integral. Por exemplo, podemos definir , que simplifica a parte para . Com essa substituição, também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com os novos parâmetros.

Passo 7

Calculando a derivada de em relação a , temos . Agora, substituímos e na integral original:

Passo 8

Determinar os novos limites de integração é essencial. Sabendo que quando e quando , a integral em termos de fica:

Resposta

Reescrevendo a integral original:
(a) Em relação a :
(b) Usando coordenadas paramétricas:

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Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(a) .
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(b) .
Seja . Verifique que é contínua em , que , mas que não existe tal que . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?