Encontre, caso existam, os extremos absolutos nos seguintes intervalos:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar os extremos absolutos (ou seja, os maiores e menores valores que a função atinge) em diferentes intervalos para a função definida por partes:
Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de intervalos, para identificar esses extremos em cada um dos intervalos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função. Ela é definida por duas expressões diferentes dependendo do valor de
:
- Para
: — uma parábola. - Para
: — uma função cúbica.
Para encontrar os extremos absolutos em cada intervalo, precisamos:
- Identificar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe).
- Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
- Comparar esses valores para determinar os maiores e menores.
Vamos fazer isso para cada intervalo.
Passo 3
i) Intervalo
Este intervalo inclui
, então precisamos considerar ambas as partes da função.
Passo 3.1: Encontrar as derivadas das duas partes:
- Para
: - Para
:
Passo 3.2: Encontrar os pontos críticos:
- Para
: - Para
:
Passo 3.3: Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades:
-
: -
: -
: -
: -
:
Passo 3.4: Identificar os extremos:
- Máximo: O maior valor é
em . - Mínimo: O menor valor é
em .
Passo 4
ii) Intervalo
Este intervalo é aberto, então não inclui
e
. Vamos revisar os mesmos pontos críticos internos.
Passo 4.1: Pontos críticos já encontrados:
-
e .
Passo 4.2: Avaliar a função nos pontos críticos:
-
: -
:
Passo 4.3: Como as extremidades não estão inclusas, os extremos absolutos são:
- Máximo:
(após verificar os valores, percebemos que não há valor mais alto dentro do intervalo aberto, então o máximo é alcançado próximo a ). - Mínimo:
.
Passo 5
iii) Intervalo
(todos os números reais)
Aqui, consideramos toda a linha dos números reais.
Passo 5.1: Encontrar todos os pontos críticos:
-
e .
Passo 5.2: Avaliar a função nos pontos críticos e analisar o comportamento nas extremidades (
):
-
-
- Conforme
, tende a (pela parte quadrática). - Conforme
, tende a (pela parte cúbica).
Passo 5.3: Identificar os extremos:
- Mínimo absoluto:
. - Não há máximo absoluto, pois a função tende ao infinito positivo nos extremos.
Passo 6
iv) Intervalo
Este intervalo inclui
mas não inclui
.
Passo 6.1: Pontos críticos dentro do intervalo:
-
.
Passo 6.2: Avaliar a função nos pontos críticos e na extremidade inclusa:
-
: -
: -
não está incluído.
Passo 6.3: Identificar os extremos:
- Máximo:
. - Mínimo:
.
Passo 7
v) Intervalo
Este intervalo inclui
mas não inclui
.
Passo 7.1: Pontos críticos dentro do intervalo:
-
e considerar .
Passo 7.2: Avaliar a função nos pontos críticos e na extremidade inclusa:
-
: -
: -
não está incluído.
Passo 7.3: Identificar os extremos:
- Máximo:
. - Mínimo:
.
Passo 8
vi) Intervalo
Este intervalo é aberto, então não inclui nem
nem
.
Passo 8.1: Pontos críticos dentro do intervalo:
-
.
Passo 8.2: Avaliar a função no ponto crítico:
-
:
Passo 8.3: Como as extremidades não estão incluídas, o único extremo absoluto é:
- Mínimo:
. - Não há máximo absoluto dentro deste intervalo.
Resposta
Os extremos absolutos para a função dada nos intervalos especificados são:
i)
: Máximo absoluto em
com
; Mínimo absoluto em
com
.
ii)
: Máximo absoluto em
próximo a 3 com
próximo a 0; Mínimo absoluto em
com
.
iii)
: Mínimo absoluto em
com
; não há máximo absoluto.
iv)
: Máximo absoluto em
com
; Mínimo absoluto em
com
.
v)
: Máximo absoluto em
com
; Mínimo absoluto em
com
.
vi)
: Mínimo absoluto em
com
; não há máximo absoluto.
Exercícios relacionados
Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada.
(a) .
(a)
Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem
e
, e supunha que
e
variam com o tempo. Se
aumenta a uma taxa constante de
e
está decrescendo a uma taxa de
, com que rapidez a diagonal está variando quando
e
?
(a) Crescendo a uma taxa de .
(b) Decrescendo a uma taxa de .
© Crescendo a uma taxa de .
(d) Decrescendo a uma taxa de .
(e) Crescendo a uma taxa de .
(a) Crescendo a uma taxa de
(b) Decrescendo a uma taxa de
© Crescendo a uma taxa de
(d) Decrescendo a uma taxa de
(e) Crescendo a uma taxa de
j)