Encontre, caso existam, os extremos absolutos nos seguintes intervalos:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar os extremos absolutos (ou seja, os maiores e menores valores que a função atinge) em diferentes intervalos para a função definida por partes:
Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de intervalos, para identificar esses extremos em cada um dos intervalos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função. Ela é definida por duas expressões diferentes dependendo do valor de :
  1. Para : — uma parábola.
  2. Para : — uma função cúbica.
Para encontrar os extremos absolutos em cada intervalo, precisamos:
  • Identificar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe).
  • Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
  • Comparar esses valores para determinar os maiores e menores.
Vamos fazer isso para cada intervalo.

Passo 3

i) Intervalo

Este intervalo inclui , então precisamos considerar ambas as partes da função.
Passo 3.1: Encontrar as derivadas das duas partes:
  • Para :
  • Para :
Passo 3.2: Encontrar os pontos críticos:
  • Para :
  • Para :
Passo 3.3: Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Passo 3.4: Identificar os extremos:
  • Máximo: O maior valor é em .
  • Mínimo: O menor valor é em .

Passo 4

ii) Intervalo

Este intervalo é aberto, então não inclui e . Vamos revisar os mesmos pontos críticos internos.
Passo 4.1: Pontos críticos já encontrados:
  • e .
Passo 4.2: Avaliar a função nos pontos críticos:
  • :
  • :
Passo 4.3: Como as extremidades não estão inclusas, os extremos absolutos são:
  • Máximo: (após verificar os valores, percebemos que não há valor mais alto dentro do intervalo aberto, então o máximo é alcançado próximo a ).
  • Mínimo: .

Passo 5

iii) Intervalo (todos os números reais)

Aqui, consideramos toda a linha dos números reais.
Passo 5.1: Encontrar todos os pontos críticos:
  • e .
Passo 5.2: Avaliar a função nos pontos críticos e analisar o comportamento nas extremidades ( ):
  • Conforme , tende a (pela parte quadrática).
  • Conforme , tende a (pela parte cúbica).
Passo 5.3: Identificar os extremos:
  • Mínimo absoluto: .
  • Não há máximo absoluto, pois a função tende ao infinito positivo nos extremos.

Passo 6

iv) Intervalo

Este intervalo inclui mas não inclui .
Passo 6.1: Pontos críticos dentro do intervalo:
  • .
Passo 6.2: Avaliar a função nos pontos críticos e na extremidade inclusa:
  • :
  • :
  • não está incluído.
Passo 6.3: Identificar os extremos:
  • Máximo: .
  • Mínimo: .

Passo 7

v) Intervalo

Este intervalo inclui mas não inclui .
Passo 7.1: Pontos críticos dentro do intervalo:
  • e considerar .
Passo 7.2: Avaliar a função nos pontos críticos e na extremidade inclusa:
  • :
  • :
  • não está incluído.
Passo 7.3: Identificar os extremos:
  • Máximo: .
  • Mínimo: .

Passo 8

vi) Intervalo

Este intervalo é aberto, então não inclui nem nem .
Passo 8.1: Pontos críticos dentro do intervalo:
  • .
Passo 8.2: Avaliar a função no ponto crítico:
  • :
Passo 8.3: Como as extremidades não estão incluídas, o único extremo absoluto é:
  • Mínimo: .
  • Não há máximo absoluto dentro deste intervalo.

Resposta

Os extremos absolutos para a função dada nos intervalos especificados são:
i) : Máximo absoluto em com ; Mínimo absoluto em com .
ii) : Máximo absoluto em próximo a 3 com próximo a 0; Mínimo absoluto em com .
iii) : Mínimo absoluto em com ; não há máximo absoluto.
iv) : Máximo absoluto em com ; Mínimo absoluto em com .
v) : Máximo absoluto em com ; Mínimo absoluto em com .
vi) : Mínimo absoluto em com ; não há máximo absoluto.

Exercícios relacionados

Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada.
(a) .
Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem e , e supunha que e variam com o tempo. Se aumenta a uma taxa constante de e está decrescendo a uma taxa de , com que rapidez a diagonal está variando quando e ?
(a) Crescendo a uma taxa de .
(b) Decrescendo a uma taxa de .
© Crescendo a uma taxa de .
(d) Decrescendo a uma taxa de .
(e) Crescendo a uma taxa de .
j)