Em cada item, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que transforma a matriz identidade na matriz fornecida:
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes elementares e operações de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz identidade. Ela é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s em todas as outras posições:
Nossa meta é descobrir qual operação de linha aplicada na identidade resulta na matriz dada.
Passo 3
Observando a matriz fornecida:
vemos que apenas o elemento (1,2) mudou de 0 para -3. Isso sugere que fizemos uma operação que afeta a primeira linha usando a segunda linha.
Passo 4
A operação que altera o elemento (1,2) de 0 para -3 é uma combinação da primeira linha com a segunda linha. Especificamente, subtrair 3 vezes a segunda linha da primeira linha:
Essa operação modifica a primeira linha mantendo a segunda linha inalterada.
Passo 5
Agora, vamos entender como essa operação se traduz em uma matriz elementar. A matriz elementar correspondente a essa operação é:
Multiplicando a matriz identidade por essa matriz elementar, obtemos a matriz fornecida.
Resposta
A operação de linha é
e a matriz elementar correspondente é: