Use o algoritmo de inversão para obter a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
[lll1 & 2 & 0 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz 3x3 e queremos encontrar a inversa dela usando o algoritmo de inversão. Isso envolve operações de linha e trabalhar com uma matriz aumentada. Vamos precisar saber como fazer essas operações básicas e entender o que é uma matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz aumentada juntando a matriz original com a matriz identidade 3x3. A matriz identidade é uma matriz especial onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os outros são 0. Isso nos ajuda a encontrar a inversa.
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Nosso objetivo é transformar o lado esquerdo da matriz aumentada na matriz identidade. Para isso, vamos usar operações de linha como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.

Passo 4

Começamos deixando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 (já está feito). Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1. Para isso, vamos dividir a segunda linha por -3.
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira linha.
[ccc|ccc 1 & 0 & 43 & 13 & 23 & 0 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Depois, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha.
[ccc|ccc 1 & 0 & 43 & 13 & 23 & 0 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 0 & 53 & -43 & 23 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o elemento (3,3) seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por [ccc|ccc 1 & 0 & 43 & 13 & 23 & 0 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 0 & 1 & -45 & 25 & 35 ] .

Passo 8

Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, subtraímos [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 13 + 1615 & 23 - 815 & -1215 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 0 & 1 & -45 & 25 & 35 ] vezes a terceira linha da primeira linha.
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 75 & 25 & -45 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 0 & 1 & -45 & 25 & 35 ]
Simplificando:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 75 & 25 & -45 0 & 1 & 0 & 23 - 815 & -13 + 415 & 25 0 & 0 & 1 & -45 & 25 & 35 ]
Depois, adicionamos [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 75 & 25 & -45 0 & 1 & 0 & 25 & -15 & 25 0 & 0 & 1 & -45 & 25 & 35 ] vezes a terceira linha à segunda linha.
Simplificando novamente:

Resposta

A inversa da matriz dada é:
75 & 25 & -45 25 & -15 & 25 -45 & 25 & 35

Exercícios relacionados