Em cada item, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma operação de linhas e a matriz elementar correspondente que, quando aplicada, transforma a matriz elementar dada na matriz identidade. Estamos lidando com matrizes elementares aqui, que são super importantes na resolução de sistemas lineares e na compreensão de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar saber como as operações de linha afetam as matrizes e como encontrar a matriz inversa correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz que a gente recebeu:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -5 & 0 & 1
Essa é uma matriz elementar que provavelmente foi obtida aplicando uma operação de linha na matriz identidade. Nosso objetivo é descobrir qual operação foi feita para que, aplicando uma outra operação, a gente volte para a identidade.
Passo 3
Vamos lembrar que uma matriz elementar representa uma única operação de linha:
Troca de duas linhas.
Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vendo a matriz dada, percebemos que apenas uma das linhas mudou em relação à identidade. A terceira linha é , enquanto na identidade seria . Isso sugere que fizemos uma adição de um múltiplo de uma linha a outra.
Passo 4
Observando a terceira linha, vemos que foi subtraído 5 vezes a primeira linha da terceira linha original. Isso é representado pela operação:
Aqui, é a terceira linha e é a primeira linha.
Passo 5
Agora, para reverter essa operação e voltar à matriz identidade, precisamos fazer a operação inversa. A operação inversa de é .
Passo 6
Então, a matriz elementar correspondente à operação inversa 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 5 & 0 & 1 será:
Resposta
A operação de linha necessária é 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 5 & 0 & 1 e a matriz elementar correspondente é: