Determine o ângulo theta entre v e w, se:
а) v=(-1,2) e w=(-5,3)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o ângulo theta entre dois vetores v e w. No caso, v = (-1, 2) e w = (-5, 3). Vamos trabalhar com vetores no plano, usando conceitos de álgebra vetorial para descobrir esse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar. O produto escalar de dois vetores nos ajuda a relacionar suas magnitudes e o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
costheta = v cdot w|v| |w|
Onde:
  • v cdot w é o produto escalar dos vetores.
  • |v| e |w| são as magnitudes (ou normas) dos vetores v e w, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot w. O produto escalar de dois vetores no plano é dado por:
v cdot w = vx cdot wx + vy cdot wy
Substituindo os valores dos vetores:
v cdot w = (-1) cdot (-5) + 2 cdot 3 = 5 + 6 = 11

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores v e w. A magnitude de um vetor v = (vx, vy) é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Para o vetor v = (-1, 2):
|v| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Para o vetor w = (-5, 3):
|w| = raiz(-5)^2 + 3^2 = raiz25 + 9 = raiz34

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, vamos substituir na fórmula do cosseno:
costheta = 11raiz5 cdot raiz34 = 11raiz170
Para encontrar o ângulo theta, precisamos aplicar a função arco cosseno (arccos):
theta = arccos(11raiz170)

Resposta

O ângulo entre os vetores v e w é aproximadamente 31,73 graus.

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