Em cada item, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma operação de linha e a matriz elementar correspondente que, ao serem aplicadas na matriz dada, transformam ela na matriz identidade. Aqui, estamos trabalhando com matrizes elementares e operações de linha, que são ferramentas fundamentais na álgebra linear para manipular matrizes e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que nos foi dada:
Observando a matriz dada, percebemos que as linhas estão embaralhadas. A primeira linha tem um 1 na quarta coluna, e a quarta linha tem um 1 na primeira coluna, enquanto as linhas segunda e terceira já estão na posição correta. Isso indica que precisamos trocar a primeira e a quarta linhas para obter a matriz identidade.
Passo 4
A operação de linha que precisamos realizar é a troca da linha 1 com a linha 4. Em termos de matrizes elementares, essa operação pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada pela matriz original, realiza essa troca.
Passo 5
Vamos construir a matriz elementar correspondente à troca das linhas 1 e 4. A matriz elementar para trocar duas linhas é obtida trocando as linhas correspondentes na matriz identidade. Assim, a matriz elementar E = 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 que troca a linha 1 com a linha 4 fica:
Passo 6
Para verificar, multiplicamos a matriz elementar E cdot 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 = I pela matriz dada:
Isso confirma que a operação de trocar a linha 1 com a linha 4 transforma a matriz dada na matriz identidade.
Resposta
A operação de trocar a linha 1 com a linha 4, representada pela matriz elementar