Qual o volume do paralelepípedo de arestas adjacentes ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo cujas arestas adjacentes são os vetores , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto misto de vetores, que envolve o cálculo de determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o volume de um paralelepípedo. O volume pode ser calculado usando o produto escalar triplo dos vetores que formam as arestas adjacentes. Esse produto é igual ao valor absoluto do determinante da matriz formada por esses vetores. Em fórmula, temos:
Isso significa que vamos calcular o determinante da matriz construída com os vetores u, v e w.
Passo 3
Vamos construir a matriz com os vetores dados:
1 & 2 & 5 1 & 1 & 1 3 & 4 & -2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
Passo 4
Aplicando a regra de Sarrus, temos:
Determinante = 1 times 1 times (-2) + 2 times 1 times 3 + 5 times 1 times 4 - 5 times 1 times 3 - 2 times 1 times (-2) - 1 times 1 times 4
Calculando cada termo:
= (1 times 1 times -2) + (2 times 1 times 3) + (5 times 1 times 4) - (5 times 1 times 3) - (2 times 1 times -2) - (1 times 1 times 4)
= (-2) + (6) + (20) - (15) + (4) - (4)
= (-2 + 6) + (20 - 15) + (4 - 4)
= 4 + 5 + 0
= 9
Passo 5
O determinante que encontramos foi 9. O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse determinante: