Qual o volume do paralelepípedo de arestas adjacentes u=(1,1,3), v=(2,1,4), w=(5,1,-2) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo cujas arestas adjacentes são os vetores u = (1,1,3), v = (2,1,4) e w = (5,1,-2). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto misto de vetores, que envolve o cálculo de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o volume de um paralelepípedo. O volume pode ser calculado usando o produto escalar triplo dos vetores que formam as arestas adjacentes. Esse produto é igual ao valor absoluto do determinante da matriz formada por esses vetores. Em fórmula, temos:
V = | u cdot (v times w) |
Isso significa que vamos calcular o determinante da matriz construída com os vetores u, v e w.

Passo 3

Vamos construir a matriz com os vetores dados:
1 & 2 & 5 1 & 1 & 1 3 & 4 & -2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus, temos:
Determinante = 1 times 1 times (-2) + 2 times 1 times 3 + 5 times 1 times 4 - 5 times 1 times 3 - 2 times 1 times (-2) - 1 times 1 times 4
Calculando cada termo:
= (1 times 1 times -2) + (2 times 1 times 3) + (5 times 1 times 4) - (5 times 1 times 3) - (2 times 1 times -2) - (1 times 1 times 4)
= (-2) + (6) + (20) - (15) + (4) - (4)
= (-2 + 6) + (20 - 15) + (4 - 4)
= 4 + 5 + 0
= 9

Passo 5

O determinante que encontramos foi 9. O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse determinante:
V = |9| = 9

Resposta

O volume do paralelepípedo é 9 unidades cúbicas.

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