Se
é o ângulo entre
e
, mostre que
, se
, se
, se
180, sendo
e
não nulos.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, e um ângulo
entre eles. A missão aqui é mostrar como o produto escalar desses vetores,
, se comporta dependendo do valor de
. Vamos precisar entender o que é produto escalar e como ele se relaciona com o ângulo entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto escalar entre dois vetores:
Aqui,
e
representam os comprimentos (ou módulos) dos vetores
e
, e
é o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 3
Como os vetores
e
não são nulos, seus módulos
e
são sempre positivos. Isso significa que o sinal de
vai depender totalmente do valor de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar os diferentes casos para
:
-
Se
graus: - O cosseno de um ângulo entre 0 e 90 graus é positivo.
- Então,
. - Multiplicando por
e positivos, temos .
-
Se
graus: - O cosseno de 90 graus é zero.
- Então,
. - Assim,
.
-
Se
graus: - O cosseno de um ângulo entre 90 e 180 graus é negativo.
- Então,
. - Multiplicando por
e positivos, temos .
Resposta
Conseguimos mostrar que: