Se theta é o ângulo entre v e w, mostre que v cdot w>0, se 0, se theta=90 ; v w<0, se 90 180, sendo v e w não nulos.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e um ângulo entre eles. A missão aqui é mostrar como o produto escalar desses vetores, , se comporta dependendo do valor de . Vamos precisar entender o que é produto escalar e como ele se relaciona com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto escalar entre dois vetores:
v cdot w = |v| cdot |w| cdot cos(theta)
Aqui, e representam os comprimentos (ou módulos) dos vetores e , e é o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Como os vetores e não são nulos, seus módulos e são sempre positivos. Isso significa que o sinal de vai depender totalmente do valor de .

Passo 4

Agora, vamos analisar os diferentes casos para :
  1. Se graus:
    • O cosseno de um ângulo entre 0 e 90 graus é positivo.
    • Então, .
    • Multiplicando por e positivos, temos .
  2. Se graus:
    • O cosseno de 90 graus é zero.
    • Então, .
    • Assim, .
  3. Se graus:
    • O cosseno de um ângulo entre 90 e 180 graus é negativo.
    • Então, .
    • Multiplicando por e positivos, temos .

Resposta

Conseguimos mostrar que:
v cdot w > 0, se 0 < theta < 90;
v cdot w = 0, se theta = 90;
v cdot w < 0, se 90 < theta <= 180

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