Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar todos os inteiros
que satisfazem a congruência
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de aritmética modular, que estuda restos de divisões. Para resolver, vamos precisar entender como manipular congruências e trabalhar com inversos multiplicativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a congruência
está nos dizendo. Isso significa que, quando multiplicamos
por 2 e dividimos por 7, o resto dessa divisão é 3. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 3
Para isolar
, precisamos “dividir” ambos os lados da congruência por 2. Mas dividir em modularidade não é tão direto como na aritmética comum. Em vez disso, vamos encontrar o inverso multiplicativo de 2 módulo 7. O inverso multiplicativo de um número
módulo
é um número
tal que
.
Passo 4
Vamos encontrar o inverso de 2 módulo 7. Precisamos de um número
que satisfaça
. Testando os números de 1 a 6:
Achamos! O inverso de 2 módulo 7 é 4, porque
.
Passo 5
Agora que temos o inverso de 2, vamos multiplicar ambos os lados da congruência original por 4:
Simplificando:
Como
e
, a equação fica:
Resposta
Todos os inteiros
que satisfazem a congruência são os números que têm resto 5 quando divididos por 7. Ou seja,
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