Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar todos os inteiros que satisfazem a congruência . Esse tipo de problema faz parte da matéria de aritmética modular, que estuda restos de divisões. Para resolver, vamos precisar entender como manipular congruências e trabalhar com inversos multiplicativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a congruência está nos dizendo. Isso significa que, quando multiplicamos por 2 e dividimos por 7, o resto dessa divisão é 3. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 3

Para isolar , precisamos “dividir” ambos os lados da congruência por 2. Mas dividir em modularidade não é tão direto como na aritmética comum. Em vez disso, vamos encontrar o inverso multiplicativo de 2 módulo 7. O inverso multiplicativo de um número módulo é um número tal que .

Passo 4

Vamos encontrar o inverso de 2 módulo 7. Precisamos de um número que satisfaça . Testando os números de 1 a 6:
Achamos! O inverso de 2 módulo 7 é 4, porque .

Passo 5

Agora que temos o inverso de 2, vamos multiplicar ambos os lados da congruência original por 4:
Simplificando:
Como e , a equação fica:

Resposta

Todos os inteiros que satisfazem a congruência são os números que têm resto 5 quando divididos por 7. Ou seja,

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