Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar todos os números inteiros a que satisfazem a congruência
. Aqui, estamos trabalhando com congruências em aritmética modular, que é uma forma de resolver equações envolvendo restos de divisão por um número específico, que neste caso é 13.
Passo 2
Primeiro, queremos isolar a na congruência
. Para isso, precisamos “desfazer” o coeficiente que está multiplicando a, que é o 3. Isso envolve encontrar o inverso multiplicativo de 3 modulo 13. O inverso multiplicativo de um número b modulo m é outro número b⁻¹ tal que
.
Passo 3
Vamos encontrar o inverso de 3 mod 13. Procuramos um número x que satisfaça
. Testando valores:
Então, o inverso de 3 mod 13 é 9, porque
.
Passo 4
Agora que temos o inverso, podemos multiplicar ambos os lados da congruência original por 9 para isolar a:
Simplificando:
Passo 5
Reduzindo os coeficientes modulo 13:
-
(porque ) -
(porque )
Então, a congruência fica:
Ou simplesmente:
Resposta
Todos os inteiros a que satisfazem a congruência são da forma
, onde k é qualquer número inteiro.
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre o menor inteiro positivo a que satisfaz as congruências: b)
Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: c) Se
e
, então
Diga quais dos seguintes números são primos e quais são compostos:
e 197.
(VUNESP - MPE SP - 2016) No aeroporto de uma pequena cidade chegam aviões de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três companhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse mesmo dia, às d) 18 horas.