Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: c) 3 a equiv 9(bmod 13)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar todos os números inteiros a que satisfazem a congruência . Aqui, estamos trabalhando com congruências em aritmética modular, que é uma forma de resolver equações envolvendo restos de divisão por um número específico, que neste caso é 13.

Passo 2

Primeiro, queremos isolar a na congruência . Para isso, precisamos “desfazer” o coeficiente que está multiplicando a, que é o 3. Isso envolve encontrar o inverso multiplicativo de 3 modulo 13. O inverso multiplicativo de um número b modulo m é outro número b⁻¹ tal que .

Passo 3

Vamos encontrar o inverso de 3 mod 13. Procuramos um número x que satisfaça . Testando valores:
Então, o inverso de 3 mod 13 é 9, porque .

Passo 4

Agora que temos o inverso, podemos multiplicar ambos os lados da congruência original por 9 para isolar a:
9 times 3a equiv 9 times 9 pmod13
Simplificando:
27a equiv 81 pmod13

Passo 5

Reduzindo os coeficientes modulo 13:
  • 1a equiv 3 pmod13 (porque a equiv 3 pmod13 )
  • (porque )
Então, a congruência fica:
Ou simplesmente:

Resposta

Todos os inteiros a que satisfazem a congruência são da forma , onde k é qualquer número inteiro.

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