Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: c) Se
e
, então
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve a relação de congruência módulo m. O objetivo é demonstrar que se
e
, então necessariamente
. Para isso, vamos utilizar a definição de congruência e alguns conceitos básicos de aritmética modular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa
. Isso quer dizer que, ao dividir
por
e
por
, os restos são iguais. Em outras palavras, a diferença entre
e
é múltiplo de
:
Passo 3
Da mesma forma, a congruência
significa que:
Passo 4
Agora, queremos provar que
. Para isso, vamos somar as duas equações que obtivemos:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
A equação
mostra que a diferença entre
e
também é um múltiplo de
. Portanto, de acordo com a definição de congruência:
Resposta
Assim, demonstramos que se
e
, então
.