Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: c) Se e , então

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve a relação de congruência módulo m. O objetivo é demonstrar que se e , então necessariamente . Para isso, vamos utilizar a definição de congruência e alguns conceitos básicos de aritmética modular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa . Isso quer dizer que, ao dividir por e por , os restos são iguais. Em outras palavras, a diferença entre e é múltiplo de :

Passo 3

Da mesma forma, a congruência significa que:

Passo 4

Agora, queremos provar que . Para isso, vamos somar as duas equações que obtivemos:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 5

A equação mostra que a diferença entre e também é um múltiplo de . Portanto, de acordo com a definição de congruência:

Resposta

Assim, demonstramos que se e , então .

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