Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: c) Se a equiv b(bmod m) e b equiv c(bmod m), então a equiv c(bmod m)

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve a relação de congruência módulo m. O objetivo é demonstrar que se e , então necessariamente . Para isso, vamos utilizar a definição de congruência e alguns conceitos básicos de aritmética modular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a - b = km para algum inteiro k . Isso quer dizer que, ao dividir por e por , os restos são iguais. Em outras palavras, a diferença entre e é múltiplo de :

Passo 3

Da mesma forma, a congruência b - c = lm para algum inteiro l significa que:

Passo 4

Agora, queremos provar que (a - b) + (b - c) = km + lm . Para isso, vamos somar as duas equações que obtivemos:
a - c = (k + l)m
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 5

A equação a equiv c pmodm mostra que a diferença entre e também é um múltiplo de . Portanto, de acordo com a definição de congruência:

Resposta

Assim, demonstramos que se e , então .

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