Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos todos os inteiros
que satisfazem a equação
. Isso está relacionado à aritmética modular, especificamente à resolução de congruências lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o inverso multiplicativo de um número em módulo 13.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa congruência
. Isso quer dizer que, quando multiplicamos
por 5 e dividimos por 13, o resto dessa divisão é 7. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de
que fazem essa equação verdadeira.
Passo 3
Para isolar
, precisamos “dividir” ambos os lados da equação por 5. Mas, na aritmética modular, não podemos simplesmente dividir; em vez disso, multiplicamos por um número que, quando multiplicado por 5, dê 1 módulo 13. Esse número é chamado de inverso multiplicativo de 5 em módulo 13. Vamos encontrar esse inverso.
Passo 4
Estamos procurando um número
tal que
. Vamos testar valores de
de 1 a 12 (já que estamos trabalhando em módulo 13):
Então, o inverso de 5 módulo 13 é 8, porque
.
Passo 5
Agora que temos o inverso de 5, podemos multiplicar ambos os lados da equação original por esse inverso para isolar
:
Calculando:
Agora, reduzimos 56 módulo 13:
Então:
Resposta
Todos os inteiros
que satisfazem
são os números congruentes a 4 módulo 13. Ou seja,
Isso significa que
, onde
é qualquer inteiro.
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Demostre as seguintes propriedades de divisibilidade: a) Se a|b, então
É divisível por
e
simultaneamente o número. Justifique a sua resposta. a) 520