Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: d) 5 a equiv 7(bmod 13)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos todos os inteiros que satisfazem a equação . Isso está relacionado à aritmética modular, especificamente à resolução de congruências lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o inverso multiplicativo de um número em módulo 13.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa congruência . Isso quer dizer que, quando multiplicamos por 5 e dividimos por 13, o resto dessa divisão é 7. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de que fazem essa equação verdadeira.

Passo 3

Para isolar , precisamos “dividir” ambos os lados da equação por 5. Mas, na aritmética modular, não podemos simplesmente dividir; em vez disso, multiplicamos por um número que, quando multiplicado por 5, dê 1 módulo 13. Esse número é chamado de inverso multiplicativo de 5 em módulo 13. Vamos encontrar esse inverso.

Passo 4

Estamos procurando um número 5 times 1 &= 5 equiv 5 pmod13 5 times 2 &= 10 equiv 10 pmod13 5 times 3 &= 15 equiv 2 pmod13 5 times 8 &= 40 equiv 1 pmod13 tal que . Vamos testar valores de de 1 a 12 (já que estamos trabalhando em módulo 13):
Então, o inverso de 5 módulo 13 é 8, porque .

Passo 5

Agora que temos o inverso de 5, podemos multiplicar ambos os lados da equação original por esse inverso para isolar a equiv 8 times 7 pmod13 :
8 times 7 = 56
Calculando:
56 div 13 = 4 com resto 4 (porque 13 times 4 = 52 e 56 - 52 = 4)
Agora, reduzimos 56 módulo 13:
56 equiv 4 pmod13
Então:

Resposta

Todos os inteiros a equiv 4 pmod13 que satisfazem são os números congruentes a 4 módulo 13. Ou seja,
Isso significa que , onde é qualquer inteiro.

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