Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: a) 2 a equiv 1(bmod 7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar todos os inteiros que satisfazem . Aqui estamos trabalhando com aritmética modular, especificamente resolvendo uma congruência linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um número que, quando multiplicado por 2, dê um resto de 1 quando dividido por 7.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 2a = 7k + 1 . Isso quer dizer que deixa um resto de 1 quando dividido por 7. Em outras palavras, existe um inteiro tal que:
Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação.

Passo 3

Para encontrar b cdot b^-1 equiv 1 pmodm , precisamos isolar ele na equação. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por 2, mas como estamos trabalhando em módulo 7, precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 2 mod 7. O inverso multiplicativo de um número mod é um número tal que:
Então, precisamos achar mod 7.

Passo 4

Vamos encontrar o inverso de 2 mod 7 testando os números de 1 a 6:
2 times 1 = 2 equiv 2 pmod7 2 times 2 = 4 equiv 4 pmod7 2 times 3 = 6 equiv 6 pmod7 2 times 4 = 8 equiv 1 pmod7
Aí está! , então .

Passo 5

Agora que temos o inverso de 2, podemos multiplicar ambos os lados da congruência original por 4 para isolar 4 times 2a equiv 4 times 1 pmod7 8a equiv 4 pmod7 :
a equiv 4 pmod7
Como , simplificamos para:

Resposta

Todos os inteiros a equiv 4 pmod7 que satisfazem são aqueles que são congruentes a 4 modulo 7. Ou seja:

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