Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar todos os inteiros
que satisfazem
. Aqui estamos trabalhando com aritmética modular, especificamente resolvendo uma congruência linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um número que, quando multiplicado por 2, dê um resto de 1 quando dividido por 7.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
deixa um resto de 1 quando dividido por 7. Em outras palavras, existe um inteiro
tal que:
Nosso objetivo é encontrar
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos isolar ele na equação. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por 2, mas como estamos trabalhando em módulo 7, precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 2 mod 7. O inverso multiplicativo de um número
mod
é um número
tal que:
Então, precisamos achar
mod 7.
Passo 4
Vamos encontrar o inverso de 2 mod 7 testando os números de 1 a 6:
Aí está!
, então
.
Passo 5
Agora que temos o inverso de 2, podemos multiplicar ambos os lados da congruência original por 4 para isolar
:
Como
, simplificamos para:
Resposta
Todos os inteiros
que satisfazem
são aqueles que são congruentes a 4 modulo 7. Ou seja:
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre o menor inteiro positivo a que satisfaz as congruências: d)
Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: e) Se
, então
Verifique se o número 152489476250 é divisível por 6. Justifique a sua resposta.
Discurse: a) O número
é divisível por
e 6 ?