Em cada item, encontre todos os inteiros a que satisfazem: a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar todos os inteiros que satisfazem . Aqui estamos trabalhando com aritmética modular, especificamente resolvendo uma congruência linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um número que, quando multiplicado por 2, dê um resto de 1 quando dividido por 7.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que deixa um resto de 1 quando dividido por 7. Em outras palavras, existe um inteiro tal que:
Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação.

Passo 3

Para encontrar , precisamos isolar ele na equação. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por 2, mas como estamos trabalhando em módulo 7, precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 2 mod 7. O inverso multiplicativo de um número mod é um número tal que:
Então, precisamos achar mod 7.

Passo 4

Vamos encontrar o inverso de 2 mod 7 testando os números de 1 a 6:
Aí está! , então .

Passo 5

Agora que temos o inverso de 2, podemos multiplicar ambos os lados da congruência original por 4 para isolar :
Como , simplificamos para:

Resposta

Todos os inteiros que satisfazem são aqueles que são congruentes a 4 modulo 7. Ou seja:

Exercícios relacionados

Em cada item, encontre o menor inteiro positivo a que satisfaz as congruências: d)
Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: e) Se , então
Verifique se o número 152489476250 é divisível por 6. Justifique a sua resposta.
Discurse: a) O número é divisível por e 6 ?