Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: e) Se
, então
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de congruência módulo m. O que a gente precisa mostrar é que se a é congruente a b módulo m (escrito como
), então ao multiplicar ambos por c, a congruência continua valendo, ou seja,
. Para isso, vamos usar a definição de congruência e propriedades básicas de divisibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que a diferença entre a e b é divisível por m. Em termos matemáticos, existe um número inteiro k tal que:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade
por c:
Passo 4
Distribuindo o c na subtração, temos:
Passo 5
Observe que a diferença entre
e
é
vezes m, ou seja:
onde
é um número inteiro.
Passo 6
Isso significa que a diferença
é divisível por m, o que, pela definição, implica que:
Resposta
Assim, demonstramos que se
, então
.
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