Usando a definição da relação de congruência módulo m, demostre as seguintes propriedades: e) Se a equiv b(bmod m), então a c equiv b c(bmod m)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de congruência módulo m. O que a gente precisa mostrar é que se a é congruente a b módulo m (escrito como ), então ao multiplicar ambos por c, a congruência continua valendo, ou seja, . Para isso, vamos usar a definição de congruência e propriedades básicas de divisibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a - b = k cdot m . Isso quer dizer que a diferença entre a e b é divisível por m. Em termos matemáticos, existe um número inteiro k tal que:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que c cdot (a - b) = c cdot k cdot m . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por c:

Passo 4

Distribuindo o c na subtração, temos:
a cdot c - b cdot c = (k cdot c) cdot m

Passo 5

Observe que a diferença entre a cdot c - b cdot c = k' cdot m e é vezes m, ou seja:
onde é um número inteiro.

Passo 6

Isso significa que a diferença a cdot c equiv b cdot c pmodm é divisível por m, o que, pela definição, implica que:

Resposta

Assim, demonstramos que se , então .

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