Neste exercício, precisamos determinar a parte real de . Vamos trabalhar com funções trigonométricas aplicadas a números complexos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições de seno e cosseno para números complexos e como elas se relacionam para calcular a cotangente.
Passo 2
Primeiro, consideremos que é um número complexo que pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. A cotangente de é definida como:
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Usamos as fórmulas de Euler para funções trigonométricas de números complexos:
Aqui, e são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Passo 4
Substituindo essas expressões na definição da cotangente, temos:
Passo 5
Para simplificar essa fração complexa, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :
Passo 6
Vamos calcular o denominador primeiro:
Passo 7
Agora, calculamos o numerador:
Passo 8
Agrupando as partes real e imaginária do numerador:
Passo 9
Utilizando as identidades hiperbólicas e trigonométricas , simplificamos: