Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um vetor normal e um ponto que pertencem ao plano dado pela seguinte equação paramétrica:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas de planos e como derivar um vetor normal a partir delas. Também vamos identificar um ponto que satisfaça essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores do plano. Nas equações paramétricas, as variáveis livres (nesse caso, e ) nos dão os vetores que controlam a direção no plano.
Reescrevendo as equações:
Aqui, percebemos que os coeficientes de e nos dão os vetores diretores:
Passo 3
Agora, para encontrar um vetor normal ao plano, a gente usa o produto vetorial dos dois vetores diretores. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando o produto vetorial :
Podemos simplificar o vetor normal multiplicando por -1:
Passo 4
Agora, vamos encontrar um ponto que pertence ao plano. Olhando as equações paramétricas, podemos escolher valores simples para e para encontrar esse ponto.
Por exemplo, se escolhermos e :
Então, um ponto do plano é .
Resposta
Um vetor normal ao plano é e um ponto que pertence ao plano é .