Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
0 <= theta <= pi/4, r >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar uma região no plano que atende a duas condições: o ângulo theta está entre 0 e pi/4, e a distância r é maior ou igual a zero. Isso está relacionado ao estudo das coordenadas polares, que é uma forma de representar pontos no plano usando um ângulo e uma distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar coordenadas cartesianas (x, y), a coordenada polar de um ponto é dada por (r, θ), onde:
  • r é a distância do ponto até a origem (ponto (0,0)).
  • theta é o ângulo que o raio r forma com o eixo positivo dos x (horizontal).

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição 0 <= theta <= pi/4. Isso significa que o ângulo theta pode variar de 0 a pi/4 radianos (que é equivalente a ). Geometricamente, isso define um setor angular que começa no eixo positivo dos x ( ) e vai até .

Passo 4

A segunda condição é . Isso indica que consideramos todos os pontos a partir da origem para fora, sem limite máximo de distância. Ou seja, o raio r pode ser qualquer valor não negativo, se estendendo infinitamente.

Passo 5

Combinando as duas condições, a região que queremos esboçar é um setor angular que começa no eixo dos x, se estende até e vai do centro (origem) para fora sem limites. É como uma “fatia de pizza” que se abre até e não tem restrição no tamanho.

Resposta

A região é um setor angular do plano que se estende do ângulo 0 até pi/4 radianos e se estende indefinidamente a partir da origem. Em coordenadas polares, inclui todos os pontos (r, θ) tais que 0 <= theta <= pi/4 e . Esse setor se parece com uma “fatia de pizza” de começando na origem e se estendendo para fora sem limite de distância.

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de rosáceas).
r = sen(5 * theta).
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de rosáceas).
r = sen(2 * theta).
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de rosáceas).
r = cos(theta).
Esboce o gráfico de um exemplo de função de f que satisfaz todas as condições dadas.
e) lim x 0+f(x)=-1