Seja . Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta. e têm os mesmos autovetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que a gente tem é sobre matrizes, especificamente uma matriz quadrada 2x2, que chamamos de . A pergunta é: “Verdadeiro ou Falso? e têm os mesmos autovetores.” Para responder isso, vamos precisar entender o que são autovetores e como a transposta de uma matriz afeta esses autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma matriz é um vetor não nulo tal que, quando a matriz multiplica , o resultado é o próprio vetor multiplicado por um escalar . Isso é representado pela equação:
Aqui, é chamado de autovalor correspondente ao autovetor .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a transposta de uma matriz, que é simplesmente a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, se é uma matriz, sua transposta tem elementos onde a posição de cada elemento de é trocada para em .
Passo 4
A questão quer saber se os autovetores de são os mesmos que os autovetores de . Para descobrir isso, precisamos analisar se, se é um autovetor de , ele também satisfaz a equação para :
Onde seria o autovalor correspondente para .
Passo 5
Vamos considerar um exemplo para ilustrar. Suponha que:
Calculando :
Ao calcular os autovetores de e , vemos que eles não necessariamente coincidem. Cada matriz pode ter um conjunto diferente de autovetores, a menos que seja uma matriz simétrica (onde ).
Passo 6
Então, a menos que a matriz seja simétrica, e não necessariamente têm os mesmos autovetores. Como a questão não especifica que é simétrica, a resposta geral é que isso não é verdadeiro.
Resposta
Falso. Em geral, e não têm os mesmos autovetores, a menos que seja uma matriz simétrica.