Seja
. Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta.
e
têm os mesmos autovetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que a gente tem é sobre matrizes, especificamente uma matriz quadrada 2x2, que chamamos de
. A pergunta é: “Verdadeiro ou Falso?
e
têm os mesmos autovetores.” Para responder isso, vamos precisar entender o que são autovetores e como a transposta de uma matriz afeta esses autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma matriz
é um vetor não nulo
tal que, quando a matriz
multiplica
, o resultado é o próprio vetor
multiplicado por um escalar
. Isso é representado pela equação:
Aqui,
é chamado de autovalor correspondente ao autovetor
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a transposta de uma matriz, que é simplesmente a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, se
é uma matriz, sua transposta
tem elementos onde a posição de cada elemento
de
é trocada para
em
.
Passo 4
A questão quer saber se os autovetores de
são os mesmos que os autovetores de
. Para descobrir isso, precisamos analisar se, se
é um autovetor de
, ele também satisfaz a equação para
:
Onde
seria o autovalor correspondente para
.
Passo 5
Vamos considerar um exemplo para ilustrar. Suponha que:
Calculando
:
Ao calcular os autovetores de
e
, vemos que eles não necessariamente coincidem. Cada matriz pode ter um conjunto diferente de autovetores, a menos que
seja uma matriz simétrica (onde
).
Passo 6
Então, a menos que a matriz
seja simétrica,
e
não necessariamente têm os mesmos autovetores. Como a questão não especifica que
é simétrica, a resposta geral é que isso não é verdadeiro.
Resposta
Falso. Em geral,
e
não têm os mesmos autovetores, a menos que
seja uma matriz simétrica.