Seja A in M2. Verdadeiro ou Falso? Justifique sua resposta. A e A^t têm os mesmos autovetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que a gente tem é sobre matrizes, especificamente uma matriz quadrada 2x2, que chamamos de . A pergunta é: “Verdadeiro ou Falso? e têm os mesmos autovetores.” Para responder isso, vamos precisar entender o que são autovetores e como a transposta de uma matriz afeta esses autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um autovetor de uma matriz A v = lambda v é um vetor não nulo tal que, quando a matriz multiplica , o resultado é o próprio vetor multiplicado por um escalar . Isso é representado pela equação:
Aqui, é chamado de autovalor correspondente ao autovetor .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a transposta de uma matriz, que é simplesmente a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, se é uma matriz, sua transposta tem elementos onde a posição de cada elemento de é trocada para em .

Passo 4

A questão quer saber se os autovetores de A^t v = mu v são os mesmos que os autovetores de . Para descobrir isso, precisamos analisar se, se é um autovetor de , ele também satisfaz a equação para :
Onde seria o autovalor correspondente para .

Passo 5

Vamos considerar um exemplo para ilustrar. Suponha que:
A = 1 & 2 3 & 4
Calculando A^t = 1 & 3 2 & 4 :
Ao calcular os autovetores de e , vemos que eles não necessariamente coincidem. Cada matriz pode ter um conjunto diferente de autovetores, a menos que seja uma matriz simétrica (onde ).

Passo 6

Então, a menos que a matriz seja simétrica, e não necessariamente têm os mesmos autovetores. Como a questão não especifica que é simétrica, a resposta geral é que isso não é verdadeiro.

Resposta

Falso. Em geral, e não têm os mesmos autovetores, a menos que seja uma matriz simétrica.

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