Para cada item do exercício anterior, considerando a função racional f(x) / g(x), ache:
  • os zeros, os polos, e as singularidades evitáveis
  • o domínio e a imagem
  • as assíntotas horizontais, verticais e diagonais
  • os intervalos de positividade e negatividade

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função racional da forma e precisamos encontrar várias características dela, como zeros, polos, singularidades evitáveis, domínio, imagem, assíntotas e onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra sobre funções racionais, como encontrar raízes, analisar o denominador e o numerador, além de entender comportamentos assintóticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função. Zeros são os valores de que fazem com que . Isso acontece quando o numerador é igual a zero e o denominador não é zero. Então, resolvemos a equação para encontrar os zeros.

Passo 3

Agora, vamos identificar os polos da função. Polos são os valores de que fazem com que seja indefinida, ou seja, quando o denominador é igual a zero e o numerador não é. Então, resolvemos para encontrar os polos.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se há singularidades evitáveis. Essas ocorrem quando há fatores comuns entre o numerador e o denominador que anulam, ou seja, se e têm um fator igual que podemos simplificar. Para isso, fatoramos e e vemos se há algum fator comum. Se sim, esse ponto é uma singularidade evitável.

Passo 5

Vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função racional, o único ponto que precisamos excluir são os valores que fazem o denominador . Então, o domínio é menos os valores de que anulam .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Para funções racionais, isso pode ser um pouco mais complexo, mas geralmente envolve analisar os limites da função e verificar quais valores são alcançáveis pela função. Podemos usar testes de limites quando tende a infinito e outros valores críticos.

Passo 7

Vamos identificar as assíntotas:
  • Assíntotas Verticais: São as retas verticais onde a função tende ao infinito, correspondendo aos polos. São dadas pelos valores de que anulam .
  • Assíntotas Horizontais: Determinadas pelo comportamento da função quando tende a infinito. Se o grau de for igual ao grau de , a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Se o grau de for menor, a assíntota é .
  • Assíntotas Oblíquas (ou Diagonais): Ocorrem quando o grau de é exatamente um a mais que o grau de . Neste caso, fazemos a divisão polinomial para encontrar a equação da assíntota oblíqua.

Passo 8

Por último, vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função. Para isso, analisamos onde é maior que zero (positiva) ou menor que zero (negativa). Isso envolve:
  1. Identificar os zeros e polos que dividem a reta real em intervalos.
  2. Testar um valor de em cada intervalo para ver se a função é positiva ou negativa nesse intervalo.
  3. Representar esses intervalos com base nos resultados dos testes.

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos determinar os zeros, polos, singularidades evitáveis, domínio, imagem, assíntotas e os intervalos onde a função é positiva ou negativa. A resposta final dependerá das funções específicas e fornecidas no exercício.

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