Para cada item do exercício anterior, considerando a função racional
, ache:
- os zeros, os polos, e as singularidades evitáveis
- o domínio e a imagem
- as assíntotas horizontais, verticais e diagonais
- os intervalos de positividade e negatividade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função racional da forma
e precisamos encontrar várias características dela, como zeros, polos, singularidades evitáveis, domínio, imagem, assíntotas e onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra sobre funções racionais, como encontrar raízes, analisar o denominador e o numerador, além de entender comportamentos assintóticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função. Zeros são os valores de
que fazem com que
. Isso acontece quando o numerador
é igual a zero e o denominador
não é zero. Então, resolvemos a equação
para encontrar os zeros.
Passo 3
Agora, vamos identificar os polos da função. Polos são os valores de
que fazem com que
seja indefinida, ou seja, quando o denominador
é igual a zero e o numerador
não é. Então, resolvemos
para encontrar os polos.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se há singularidades evitáveis. Essas ocorrem quando há fatores comuns entre o numerador e o denominador que anulam, ou seja, se
e
têm um fator igual que podemos simplificar. Para isso, fatoramos
e
e vemos se há algum fator comum. Se sim, esse ponto é uma singularidade evitável.
Passo 5
Vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função racional, o único ponto que precisamos excluir são os valores que fazem o denominador
. Então, o domínio é
menos os valores de
que anulam
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Para funções racionais, isso pode ser um pouco mais complexo, mas geralmente envolve analisar os limites da função e verificar quais valores são alcançáveis pela função. Podemos usar testes de limites quando
tende a infinito e outros valores críticos.
Passo 7
Vamos identificar as assíntotas:
-
Assíntotas Verticais: São as retas verticais onde a função tende ao infinito, correspondendo aos polos. São dadas pelos valores de
que anulam . -
Assíntotas Horizontais: Determinadas pelo comportamento da função quando
tende a infinito. Se o grau de for igual ao grau de , a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Se o grau de for menor, a assíntota é . -
Assíntotas Oblíquas (ou Diagonais): Ocorrem quando o grau de
é exatamente um a mais que o grau de . Neste caso, fazemos a divisão polinomial para encontrar a equação da assíntota oblíqua.
Passo 8
Por último, vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função. Para isso, analisamos onde
é maior que zero (positiva) ou menor que zero (negativa). Isso envolve:
- Identificar os zeros e polos que dividem a reta real em intervalos.
- Testar um valor de
em cada intervalo para ver se a função é positiva ou negativa nesse intervalo. - Representar esses intervalos com base nos resultados dos testes.
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos determinar os zeros, polos, singularidades evitáveis, domínio, imagem, assíntotas e os intervalos onde a função
é positiva ou negativa. A resposta final dependerá das funções específicas
e
fornecidas no exercício.