Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em (0,0) e em 1,1.
b) f(x, y) = x + y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais da função em todo o domínio. Depois, precisamos verificar, usando a definição de diferenciabilidade, se essa função é diferenciável nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e da definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a :
    A derivada parcial de em relação a é o quanto varia quando varia, mantendo constante. Então,
  • Derivada parcial em relação a :
    Similarmente, a derivada parcial de em relação a é:
Então, as derivadas parciais são constantes e iguais a 1 em todo o domínio.

Passo 3

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função nos pontos e usando a definição de diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se existir uma aproximação linear que bem aproxima perto desse ponto. Matematicamente, isso significa que:
Vamos aplicar isso nos pontos e .
  • No ponto :
    Substituindo e :
    Então,
    Portanto,
  • No ponto :
    Substituindo e :
    Então,
    Portanto,

Resposta

A função é diferenciável nos pontos e .

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