Calcule as derivadas parciais em todo o domínio, em seguida verifique, usando a definição de difenciabilidade, se as funções dadas são diferenciáveis em
e em
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais da função
em todo o domínio. Depois, precisamos verificar, usando a definição de diferenciabilidade, se essa função é diferenciável nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e da definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
-
Derivada parcial em relação a
: A derivada parcial deem relação a é o quanto varia quando varia, mantendo constante. Então, -
Derivada parcial em relação a
: Similarmente, a derivada parcial deem relação a é:
Então, as derivadas parciais são constantes e iguais a 1 em todo o domínio.
Passo 3
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função nos pontos
e
usando a definição de diferenciabilidade. Uma função
é diferenciável em um ponto
se existir uma aproximação linear que bem aproxima
perto desse ponto. Matematicamente, isso significa que:
Vamos aplicar isso nos pontos
e
.
-
No ponto
: Substituindoe : Então,Portanto, -
No ponto
: Substituindoe : Então,Portanto,
Resposta
A função
é diferenciável nos pontos
e
.