Determine o domínio das funções abaixo:
  1. f(x) = raiz((-2*x^2 + x - 1) / (4 - x^2));

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos encontrar o domínio da função . O conteúdo envolvido aqui é o domínio de funções, especialmente envolvendo raízes quadradas e frações. Para resolver, vamos precisar identificar os valores de que tornam a expressão dentro da raiz quadrada definida e não negativa.

Passo 2

Para que a raiz quadrada esteja definida, o radicando (a expressão dentro da raiz) precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a inequação:

Passo 3

Além disso, o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida. Portanto:

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador se possível.
  • Numerador:
    Podemos fatorar tirando um -1:
    Verificamos o discriminante para ver se é fatorável:
    Como , o numerador não possui raízes reais e, portanto, o sinal dele é sempre o mesmo.
  • Denominador:
    Podemos fatorar como:

Passo 5

Agora, analisamos os sinais do numerador e do denominador para determinar onde a fração é maior ou igual a zero.
  • Numerador: Como não possui raízes reais e o coeficiente de é positivo, para todo . Portanto, para todo .
  • Denominador: muda de sinal nos pontos e .

Passo 6

Vamos determinar o sinal da fração em cada intervalo definido pelos pontos críticos e :
  1. Intervalo :
    • Denominador: (pois é falso).
    • Numerador: .
    • Fração: .
  2. Intervalo :
    • Denominador: .
    • Numerador: .
    • Fração: .
  3. Intervalo :
    • Denominador: (pois ).
    • Numerador: .
    • Fração: .

Passo 7

Queremos os valores de onde a fração é maior ou igual a zero:
Lembrando que não está incluso porque o denominador seria zero.

Resposta

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