Determine o domínio das funções abaixo:
-
;
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos encontrar o domínio da função
. O conteúdo envolvido aqui é o domínio de funções, especialmente envolvendo raízes quadradas e frações. Para resolver, vamos precisar identificar os valores de
que tornam a expressão dentro da raiz quadrada definida e não negativa.
Passo 2
Para que a raiz quadrada esteja definida, o radicando (a expressão dentro da raiz) precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a inequação:
Passo 3
Além disso, o denominador
não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida. Portanto:
Passo 4
Vamos resolver a inequação
. Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador se possível.
-
Numerador:Podemos fatorar tirando um -1:Verificamos o discriminante para ver se é fatorável:Como
, o numerador não possui raízes reais e, portanto, o sinal dele é sempre o mesmo. -
Denominador:Podemos fatorar como:
Passo 5
Agora, analisamos os sinais do numerador e do denominador para determinar onde a fração
é maior ou igual a zero.
-
Numerador: Como
não possui raízes reais e o coeficiente de é positivo, para todo . Portanto, para todo . -
Denominador:
muda de sinal nos pontos e .
Passo 6
Vamos determinar o sinal da fração em cada intervalo definido pelos pontos críticos
e
:
-
Intervalo
: - Denominador:
(pois é falso). - Numerador:
. - Fração:
.
- Denominador:
-
Intervalo
: - Denominador:
. - Numerador:
. - Fração:
.
- Denominador:
-
Intervalo
: - Denominador:
(pois ). - Numerador:
. - Fração:
.
- Denominador:
Passo 7
Queremos os valores de
onde a fração é maior ou igual a zero:
Lembrando que
não está incluso porque o denominador seria zero.