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Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
a) f(x, y) = x^3 / (x^2 + y^2), se (x, y) != (0, 0) e f(0,0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos a função , definida para todos os diferentes de e , é diferenciável. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a diferenciabilidade em pontos diferentes e, principalmente, no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Para todos os pontos , a função é uma fração onde o denominador nunca é zero, exceto em onde a função foi definida separadamente. Como o denominador não é zero nesses pontos, a função é suave e, portanto, diferenciável em todos esses lugares.

Passo 3

Agora, vamos analisar o ponto . Para verificar se é diferenciável nesse ponto, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas em . Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em .
A derivada parcial em relação a em é:
A derivada parcial em relação a em é:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais e , precisamos verificar se essas derivadas são contínuas em . Isso significa que precisamos verificar se o limite da diferença entre e sua aproximação linear vai a zero mais rápido do que a distância quando se aproxima de .
Vamos considerar:
Simplificando a expressão no numerador:
Então, a expressão torna-se:
Vamos analisar esse limite. Se usarmos coordenadas polares, onde e , temos:
Esse valor depende de e não tende a zero à medida que . Portanto, o limite não existe ou não é zero, o que indica que a função não é diferenciável em .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos diferentes de . No ponto , a função não é diferenciável. Portanto, o conjunto dos pontos onde é diferenciável é .

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