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Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
a)
, se
e
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos a função
, definida para todos os
diferentes de
e
, é diferenciável. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a diferenciabilidade em pontos diferentes e, principalmente, no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Para todos os pontos
, a função
é uma fração onde o denominador
nunca é zero, exceto em
onde a função foi definida separadamente. Como o denominador não é zero nesses pontos, a função é suave e, portanto, diferenciável em todos esses lugares.
Passo 3
Agora, vamos analisar o ponto
. Para verificar se
é diferenciável nesse ponto, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas em
. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em
.
A derivada parcial em relação a
em
é:
A derivada parcial em relação a
em
é:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais
e
, precisamos verificar se essas derivadas são contínuas em
. Isso significa que precisamos verificar se o limite da diferença entre
e sua aproximação linear vai a zero mais rápido do que a distância
quando
se aproxima de
.
Vamos considerar:
Simplificando a expressão no numerador:
Então, a expressão torna-se:
Vamos analisar esse limite. Se usarmos coordenadas polares, onde
e
, temos:
Esse valor depende de
e não tende a zero à medida que
. Portanto, o limite não existe ou não é zero, o que indica que a função não é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos
diferentes de
. No ponto
, a função não é diferenciável. Portanto, o conjunto dos pontos onde
é diferenciável é
.