Em cada item, explique por que
é descontínua em
.
(a)
.
(b)
em
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois exercícios onde precisa explicar por que certas funções são descontínuas em pontos específicos. Isso envolve entender o que é continuidade e como identificar uma descontinuidade. Vamos usar conceitos de limite e análise de funções para resolver isso.
Passo 2
Parte (a): A função dada é
no ponto
. Primeiro, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 2.
A função logarítmica,
, só está definida para
. Então,
está definida quando
, ou seja, quando
. No entanto, no ponto
, temos
, que não está definido porque o logaritmo de zero não existe (tende a menos infinito).
Então, o limite da função quando
se aproxima de 2 não existe de forma finita, e a função não está definida exatamente em
. Isso caracteriza uma descontinuidade no ponto
.
Parte (b): A função é definida por partes:
Vamos simplificar a parte de
:
Então, para
,
. O limite quando
se aproxima de 3 é:
Mas a função está definida como
, que não é igual ao limite (2). Como o valor da função no ponto não coincide com o limite, a função tem uma descontinuidade em
.
Resposta
(a) A função
é descontínua em
porque o logaritmo não está definido em zero, fazendo com que o limite não exista nesse ponto.
(b) A função dada é descontínua em
porque o valor da função nesse ponto (5) não coincide com o limite quando
se aproxima de 3 (que é 2).
Exercícios relacionados
Resolva a seguinte equação diferencial
dada a condiçào inicial
Determine
e
sabendo que a função
é contínua.
Seja
uma função. Sabe-se, por algum teorema ou resultado prévio, que
é contínua no ponto a. Como essa informação lhe ajuda no cálculo dos limites
e
? Essa informação também ajuda a calcular o limite
, em que
?
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida: