Em cada item, explique por que é descontínua em .
(a) .
(b) em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois exercícios onde precisa explicar por que certas funções são descontínuas em pontos específicos. Isso envolve entender o que é continuidade e como identificar uma descontinuidade. Vamos usar conceitos de limite e análise de funções para resolver isso.

Passo 2

Parte (a): A função dada é no ponto . Primeiro, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 2.
A função logarítmica, , só está definida para . Então, está definida quando , ou seja, quando . No entanto, no ponto , temos , que não está definido porque o logaritmo de zero não existe (tende a menos infinito).
Então, o limite da função quando se aproxima de 2 não existe de forma finita, e a função não está definida exatamente em . Isso caracteriza uma descontinuidade no ponto .
Parte (b): A função é definida por partes:
Vamos simplificar a parte de :
Então, para , . O limite quando se aproxima de 3 é:
Mas a função está definida como , que não é igual ao limite (2). Como o valor da função no ponto não coincide com o limite, a função tem uma descontinuidade em .

Resposta

(a) A função é descontínua em porque o logaritmo não está definido em zero, fazendo com que o limite não exista nesse ponto.
(b) A função dada é descontínua em porque o valor da função nesse ponto (5) não coincide com o limite quando se aproxima de 3 (que é 2).

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