Seja uma função. Sabe-se, por algum teorema ou resultado prévio, que é contínua no ponto a. Como essa informação lhe ajuda no cálculo dos limites e ? Essa informação também ajuda a calcular o limite , em que ?

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que é contínua no ponto . A matéria envolvida aqui são limites e continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto e como isso se relaciona com os limites laterais e o limite geral nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. .
Como a função é contínua em , essas três condições já estão garantidas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre os limites laterais, ou seja, o limite quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ). Se a função é contínua em , isso implica que os limites laterais também existem e são iguais ao valor da função em . Ou seja:
E, claro, o limite geral também satisfaz:

Passo 4

Então, como essa informação nos ajuda no cálculo desses limites? Basicamente, sabendo que é contínua em , já sabemos que todos esses limites são iguais a . Isso simplifica muito o cálculo, porque não precisamos fazer cálculos complicados para encontrar esses limites; já sabemos o resultado graças à continuidade.

Passo 5

Agora, sobre o limite , onde . A informação de que é contínua em não nos ajuda diretamente a calcular o limite em outro ponto . A continuidade em só garante informações específicas sobre o comportamento da função nesse ponto . Para calcular o limite em , precisaríamos de informações sobre a continuidade ou o comportamento da função em .

Resposta

Sabendo que é contínua em , os limites , e todos são iguais a . Contudo, essa informação não ajuda a calcular o limite quando .

Exercícios relacionados

Em cada item, explique por que é descontínua em .
(a) .
(b) em .
Resolva a seguinte equação diferencial dada a condiçào inicial
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Considere a função
Determine os pontos de descontinuidade de e diga quais são removíveis.