Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
y' - y = 2 t e^(2 t) y(0) = 1

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisamos encontrar a solução dessa equação que satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação é linear de primeira ordem e está na forma:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Então, temos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar um fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:
Calculando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral da esquerda é simplesmente . Para a integral da direita, usamos integração por partes:
Portanto:

Passo 6

Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados