Determine
e
sabendo que a função
é contínua.
Passo 1
Então, a gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de
e
que fazem essa função ser contínua. Isso significa que não deve ter “saltos” na função quando mudamos de uma parte para a outra. Vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções e ver os limites quando
se aproxima de
por diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função para
:
Para simplificar essa expressão, vamos fatorar o numerador. Queremos que o denominador
seja um fator do numerador para que possamos cancelar e evitar uma divisão por zero.
Vamos fatorar
:
Multiplicando os fatores:
Comparando com
, temos:
Resolvendo
:
Então, substituindo em
:
Passo 3
Agora que encontramos
, vamos simplificar a parte da função para
:
Então, para
, a função é
.
Passo 4
Agora, vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em
.
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda (
):
Passo 5
Agora, calculamos o limite pela direita (
):
Para que a função seja contínua, esses dois limites devem ser iguais:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua são
e
.