Determine e sabendo que a função
é contínua.

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e que fazem essa função ser contínua. Isso significa que não deve ter “saltos” na função quando mudamos de uma parte para a outra. Vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções e ver os limites quando se aproxima de por diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função para :
Para simplificar essa expressão, vamos fatorar o numerador. Queremos que o denominador seja um fator do numerador para que possamos cancelar e evitar uma divisão por zero.
Vamos fatorar :
Multiplicando os fatores:
Comparando com , temos:
Resolvendo :
Então, substituindo em :

Passo 3

Agora que encontramos , vamos simplificar a parte da função para :
Então, para , a função é .

Passo 4

Agora, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda ( ):

Passo 5

Agora, calculamos o limite pela direita ( ):
Para que a função seja contínua, esses dois limites devem ser iguais:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua são e .

Exercícios relacionados

Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.
Questão 3 (1.0 pt) - Um paralelepípedo retangular hipotético possui:
  • Comprimento
  • Largura
  • Altura
    Desta forma, pode-se afirmar que o volume do paralelepípedo retangular hipotético é igual à:
Resolva a seguinte equação diferencial dada a condiçào inicial
Em cada item, explique por que é descontínua em .
(a) .
(b) em .