Resolva a seguinte equação diferencial
dada a condiçào inicial
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, um método padrão para equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da equação na forma padrão:
Aqui,
e
. Nosso objetivo é encontrar uma função que, ao multiplicar toda a equação, facilite a resolução.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em algo mais simples de resolver.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Isso facilita a integração dos dois lados da equação.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes. Seja:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 9
Substituímos a integral resolvida de volta na equação original:
Passo 10
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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e
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.
(a) .
(b) em
.
(a)
(b)
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e
? Essa informação também ajuda a calcular o limite
, em que
?