Resolva a seguinte equação diferencial dada a condiçào inicial

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial . Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, um método padrão para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação na forma padrão:
Aqui, e . Nosso objetivo é encontrar uma função que, ao multiplicar toda a equação, facilite a resolução.

Passo 3

Calculamos o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em algo mais simples de resolver.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Isso facilita a integração dos dois lados da equação.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Simplificando:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes. Seja:

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 9

Substituímos a integral resolvida de volta na equação original:

Passo 10

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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